Номер 112, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

112. Точки A и B отмечены в плоскости $\alpha$, а точки $A_1$ и $B_1$ — в плоскости $\beta$, параллельной плоскости $\alpha$. Учитывая, что $AB = 5 \text{ см}$, $BB_1 = 7 \text{ см}$ и $AA_1 \parallel BB_1$, найдите $A_1B_1$ и $AA_1$.

Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Нам дано, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Точки A и B лежат в плоскости $\alpha$, а точки $A_1$ и $B_1$ — в плоскости $\beta$. Также известно, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ параллельны ($AA_1 \parallel BB_1$).

Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ определяют единственную плоскость, назовем ее $\gamma$. Так как точки A, $A_1$ лежат на прямой $AA_1$, а точки B, $B_1$ лежат на прямой $BB_1$, то все четыре точки A, B, $B_1$, $A_1$ лежат в этой плоскости $\gamma$. Следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ является плоской фигурой.

По свойству параллельных плоскостей, если некоторая плоскость ($\gamma$) пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$), то линии их пересечения параллельны.

В нашем случае:

• Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $AB$.
• Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $A_1B_1$.

Поскольку $\alpha \parallel \beta$, то из этого следует, что $AB \parallel A_1B_1$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Мы установили, что:

1. $AA_1 \parallel BB_1$ (по условию).
2. $AB \parallel A_1B_1$ (как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $ABB_1A_1$ — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны:

$A_1B_1 = AB$

$AA_1 = BB_1$

Используя данные из условия задачи ($AB = 5$ см, $BB_1 = 7$ см), найдем искомые длины.

$A_1B_1$

Так как $A_1B_1 = AB$, а $AB = 5$ см, то $A_1B_1 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

$AA_1$

Так как $AA_1 = BB_1$, а $BB_1 = 7$ см, то $AA_1 = 7$ см.

Ответ: 7 см.