Номер 111, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

111. Точки P, Q и R отмечены на ребрах SA, SB и SC пирамиды SABC так, что $PQ \parallel AB$ и $PR \parallel AC$ (рис. 48). Можно ли утверждать, что $\angle SQR = \angle SBC$?

Рис. 48

Рассмотрим треугольник $SAB$, который является одной из граней пирамиды. Точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $SA$ и $SB$ соответственно. По условию, отрезок $PQ$ параллелен стороне $AB$ ($PQ \parallel AB$). По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $SPQ$ и $SAB$), следует, что стороны пропорциональны:

$ \frac{SP}{SA} = \frac{SQ}{SB} $

Теперь рассмотрим другую грань пирамиды — треугольник $SAC$. Точки $P$ и $R$ лежат на сторонах $SA$ и $SC$ соответственно. По условию, отрезок $PR$ параллелен стороне $AC$ ($PR \parallel AC$). Аналогично предыдущему пункту, из этого следует пропорциональность сторон:

$ \frac{SP}{SA} = \frac{SR}{SC} $

Так как левые части обоих полученных равенств совпадают, мы можем приравнять их правые части:

$ \frac{SQ}{SB} = \frac{SR}{SC} $

Теперь обратимся к треугольникам $SQR$ и $SBC$. У этих треугольников есть общий угол при вершине $S$, то есть $ \angle QSR = \angle BSC $. Как мы только что доказали, стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $ \frac{SQ}{SB} = \frac{SR}{SC} $.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $SQR$ подобен треугольнику $SBC$ ($ \triangle SQR \sim \triangle SBC $).

Из подобия треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углу $SBC$ в треугольнике $SBC$ соответствует угол $SQR$ в треугольнике $SQR$. Таким образом, мы можем утверждать, что $ \angle SQR = \angle SBC $.

Ответ: Да, можно утверждать, что $ \angle SQR = \angle SBC $.