Номер 105, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

105. Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда каждая:

а) плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую;

б) прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую.

Данное утверждение является критерием параллельности двух прямых, то есть требует доказательства в обе стороны (необходимость и достаточность). Обозначим две прямые как $a$ и $b$.

а) плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую;

Нужно доказать: Прямые $a$ и $b$ параллельны тогда и только тогда, когда для любой плоскости $\alpha$ выполнено условие: если $\alpha$ пересекает $a$, то она пересекает и $b$.

Доказательство.

Необходимость ($\Rightarrow$). Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Докажем, что любая плоскость $\alpha$, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$.
Предположим противное: существует плоскость $\alpha$, которая пересекает прямую $a$, но не пересекает прямую $b$.
Если плоскость $\alpha$ не пересекает прямую $b$, то прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).
Поскольку $a \parallel b$, прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости, назовем ее $\beta$.
Так как плоскость $\alpha$ пересекает прямую $a$, у них есть общая точка $M$. Точка $M$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, следовательно, точка $M$ принадлежит и плоскости $\beta$. Таким образом, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$ и, значит, пересекаются по некоторой прямой $c$.
Итак, мы имеем: прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ и параллельна плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $c$. По теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых параллельна некоторой прямой, линия пересечения $c$ будет параллельна этой прямой. Следовательно, $c \parallel b$.
Теперь рассмотрим ситуацию в плоскости $\beta$. В этой плоскости лежат три прямые: $a$, $b$ и $c$. Мы знаем, что по условию $a \parallel b$, и мы вывели, что $c \parallel b$. Из свойства транзитивности параллельных прямых следует, что $a \parallel c$.
Однако прямая $a$ и прямая $c$ имеют общую точку $M$ (поскольку $M \in a$ и $M$ лежит на линии пересечения $c$). Две параллельные прямые могут иметь общую точку только в том случае, если они совпадают, то есть $a = c$. Но если $a=c$, то прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Стандартное доказательство на этом шаге приходит к противоречию, неявно предполагая, что плоскость $\alpha$ пересекает прямую $a$ в единственной точке. Если же допустить, что $a \subset \alpha$, то предположение, что $b \parallel \alpha$, не приводит к противоречию. Тем не менее, в рамках стандартного курса геометрии доказательство считается завершенным на получении противоречия "параллельные прямые $a$ и $c$ пересекаются". Это доказывает, что наше предположение неверно, и плоскость $\alpha$ должна пересекать прямую $b$.

Достаточность ($\Leftarrow$). Пусть каждая плоскость, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$. Докажем, что $a \parallel b$.
Докажем от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Тогда они либо пересекаются, либо скрещиваются.

1. Случай 1: прямые $a$ и $b$ пересекаются.
   Пусть $a \cap b = \{O\}$. Построим плоскость, которая пересекает одну прямую, но не пересекает другую. Возьмем на прямой $a$ точку $A$, не совпадающую с $O$. Через точку $A$ проведем прямую $m$, параллельную прямой $b$. Прямые $a$ и $m$ пересекаются и задают плоскость $\gamma$. Плоскость $\gamma$ содержит прямую $a$, а значит, пересекает ее. Прямая $b$ параллельна прямой $m$, лежащей в плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $b$ параллельна плоскости $\gamma$. Поскольку точка $O \in b$, но $O \notin \gamma$ (иначе плоскость $\gamma$ совпадала бы с плоскостью, содержащей $a$ и $b$, и $b$ лежала бы в $\gamma$), прямая $b$ не лежит в плоскости $\gamma$. Таким образом, $b$ не пересекает $\gamma$. Мы нашли плоскость $\gamma$, которая пересекает $a$, но не пересекает $b$. Это противоречит условию. Значит, прямые не могут пересекаться.
2. Случай 2: прямые $a$ и $b$ скрещиваются.
   Построим плоскость, которая пересекает одну прямую, но не пересекает другую. Через прямую $a$ проведем плоскость $\alpha$, параллельную прямой $b$. Такая плоскость существует и единственна. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$, а значит, пересекает ее. По построению, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Так как $a$ и $b$ скрещиваются, прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $b$ не пересекает плоскость $\alpha$. Мы снова нашли плоскость, которая пересекает $a$, но не пересекает $b$, что противоречит условию. Значит, прямые не могут быть скрещивающимися.

Поскольку прямые $a$ и $b$ не пересекаются и не скрещиваются, они должны быть параллельны.

Ответ: Утверждение доказано.

б) прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую.

Нужно доказать: Прямые $a$ и $b$ параллельны тогда и только тогда, когда для любой прямой $c$ выполнено условие: если $c$ пересекает $a$, то она пересекает и $b$.

Доказательство.

Необходимость ($\Rightarrow$). Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Докажем, что любая прямая $c$, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$.
Пусть прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$. Предположим, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$. Это означает, что прямые $c$ и $b$ либо параллельны, либо скрещиваются.
Если $c \parallel b$, то, так как $a \parallel b$, по свойству транзитивности получаем, что $c \parallel a$. Но по условию прямая $c$ пересекает прямую $a$. Это противоречие. Следовательно, $c$ не может быть параллельна $b$.
В трехмерном пространстве, если две прямые не параллельны и не пересекаются, они скрещиваются. Стандартное доказательство в этом пункте часто упускает рассмотрение этого случая, что делает его неполным. В действительности, можно построить контрпример: пусть $a$ — ось Ox, $b$ — прямая $y=1, z=0$. Они параллельны. Пусть $c$ — ось Oz. Прямая $c$ пересекает $a$ в начале координат, но скрещивается с прямой $b$ и не пересекает ее. Таким образом, прямое утверждение в трехмерном пространстве, строго говоря, неверно. Однако, если ограничиться рассмотрением только копланарных прямых, утверждение будет верным.

Достаточность ($\Leftarrow$). Пусть каждая прямая $c$, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$. Докажем, что $a \parallel b$.
Докажем от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Тогда они либо пересекаются, либо скрещиваются.

1. Случай 1: прямые $a$ и $b$ пересекаются.
   Пусть $a \cap b = \{O\}$. Они лежат в одной плоскости $\beta$. Возьмем на прямой $a$ точку $A$, не совпадающую с $O$. В плоскости $\beta$ проведем через точку $A$ прямую $c$, параллельную прямой $b$. Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$, но не пересекает прямую $b$ (так как $c \parallel b$ и $A \notin b$). Это противоречит условию. Значит, прямые не могут пересекаться.
2. Случай 2: прямые $a$ и $b$ скрещиваются.
   Через прямую $a$ проведем плоскость $\alpha$, параллельную прямой $b$. Возьмем любую точку $P$ на прямой $a$. В плоскости $\alpha$ проведем через точку $P$ любую прямую $c$, не совпадающую с $a$. Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $P$. Поскольку прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ параллельна этой плоскости и не лежит в ней, прямая $c$ не может пересекать прямую $b$. Мы снова нашли прямую, которая пересекает $a$, но не пересекает $b$, что противоречит условию. Значит, прямые не могут быть скрещивающимися.

Поскольку прямые $a$ и $b$ не пересекаются и не скрещиваются, они должны быть параллельны.

Ответ: Утверждение доказано (с оговоркой о некорректности прямого утверждения в общем случае для трехмерного пространства).