Номер 101, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

101. В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ относятся как $2:1$. Точку $P$ выбрали вне плоскости $ABC$. Через середину $M$ отрезка $AP$ и точки $B$ и $C$ провели плоскость, пересекающую прямую $PD$ в точке $N$. Докажите, что отрезки $BN$ и $CM$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим плоскости, в которых лежат основания трапеции и боковые грани пирамиды. Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны по определению, то есть $AD \parallel BC$.

Прямая $AD$ лежит в плоскости $(PAD)$. Так как прямая $BC$ параллельна прямой $AD$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $BC$ параллельна плоскости $(PAD)$.

Плоскость $(MBC)$, назовем ее $\alpha$, проходит через точки $M, B, C$. По условию, эта плоскость пересекает прямую $PD$ в точке $N$. Таким образом, точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $\alpha$. Точки $M$ и $N$ также лежат в плоскости $(PAD)$, так как $M \in AP$ и $N \in PD$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $(PAD)$.

Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $BC$, которая параллельна плоскости $(PAD)$, и пересекает эту плоскость по прямой $MN$. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия их пересечения $MN$ должна быть параллельна исходной прямой $BC$. Таким образом, $MN \parallel BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle PAD$. Так как $MN \parallel BC$ и $BC \parallel AD$, то $MN \parallel AD$. Прямая $MN$ отсекает от треугольника $\triangle PAD$ подобный ему треугольник $\triangle PMN$.

Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению их сторон:

$$ k = \frac{PM}{PA} $$

По условию, точка $M$ является серединой отрезка $AP$, следовательно, $PM = \frac{1}{2}PA$. Тогда коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:

$$ \frac{MN}{AD} = k = \frac{1}{2} \implies MN = \frac{1}{2}AD $$

Из условия задачи известно, что основания трапеции $AD$ и $BC$ относятся как $2:1$. Это означает, что:

$$ \frac{AD}{BC} = \frac{2}{1} \implies AD = 2 \cdot BC \implies BC = \frac{1}{2}AD $$

Сравнивая выражения для $MN$ и $BC$, получаем, что $MN = BC$.

Рассмотрим четырехугольник $BCMN$. Мы доказали, что его противоположные стороны $BC$ и $MN$ параллельны ($BC \parallel MN$) и равны по длине ($BC = MN$).

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $BCMN$ — параллелограмм.

Отрезки $BN$ и $CM$ являются диагоналями параллелограмма $BCMN$. По основному свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются, и точка их пересечения делит каждую диагональ пополам.

Таким образом, доказано, что отрезки $BN$ и $CM$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $BCMN$ является параллелограммом, диагонали которого ($BN$ и $CM$) по свойству параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.