Номер 135, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

135. Верно ли, что если прямая не перпендикулярна плоскости, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости?

Утверждение, вынесенное в вопрос, является неверным.

Рассмотрим доказательство, приведя контрпример.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и прямая $a$, которая пересекает эту плоскость в точке $O$, но не перпендикулярна ей. Такая прямая называется наклонной к плоскости.

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Условие, что прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, означает, что найдётся хотя бы одна прямая в плоскости $\alpha$, которой прямая $a$ не перпендикулярна. Это не исключает возможности того, что прямая $a$ может быть перпендикулярна какой-то другой прямой в этой плоскости.

Чтобы доказать это, построим прямую в плоскости $\alpha$, которая будет перпендикулярна нашей наклонной $a$.

1. Так как прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, она является наклонной. Построим её ортогональную проекцию на плоскость $\alpha$. Обозначим эту проекцию как прямую $a'$. Прямая $a'$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $O$.

2. В плоскости $\alpha$ через точку $O$ проведём прямую $b$, перпендикулярную проекции $a'$. То есть, $b \subset \alpha$ и $b \perp a'$. В евклидовой геометрии на плоскости через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну.

3. Теперь обратимся к теореме о трёх перпендикулярах. Она гласит: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

В нашем случае, прямая $b$ проведена в плоскости $\alpha$ через основание наклонной $a$ (точку $O$) и перпендикулярна её проекции $a'$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах, прямая $b$ перпендикулярна и самой наклонной $a$. То есть, $a \perp b$.

Таким образом, мы нашли прямую $b$, лежащую в плоскости $\alpha$, которая перпендикулярна прямой $a$. Это прямо противоречит утверждению, что если прямая не перпендикулярна плоскости, то она не перпендикулярна ни одной прямой этой плоскости.

Ответ: Нет, не верно.