Номер 141, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

141. Из центра $Q$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 9 см восстановлен перпендикуляр $QP$ длиной 3 см к его плоскости. Найдите угол $APQ$.

Рассмотрим треугольник APQ. По условию, QP — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника ABC. Поскольку точка A и центр Q лежат в плоскости этого треугольника, отрезок AQ также лежит в этой плоскости. Следовательно, перпендикуляр QP перпендикулярен отрезку AQ ($QP \perp AQ$). Это означает, что треугольник APQ является прямоугольным, где $\angle AQP = 90^\circ$.

Для нахождения угла APQ в прямоугольном треугольнике APQ нам необходимо знать длины его катетов: AQ и QP.

Длина катета QP дана в условии: $QP = 3$ см.

Длину катета AQ найдем из свойств правильного треугольника ABC. Точка Q — центр правильного треугольника, который также является центром описанной около него окружности. Расстояние от центра до любой из вершин правильного треугольника равно радиусу (R) этой описанной окружности. Таким образом, $AQ = R$.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Сторона треугольника ABC по условию равна $a = 9$ см. Подставим это значение в формулу: $AQ = R = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник APQ с катетами $QP = 3$ см и $AQ = 3\sqrt{3}$ см. Искомый угол APQ можно найти через тангенс, который равен отношению противолежащего катета (AQ) к прилежащему (QP): $\tan(\angle APQ) = \frac{AQ}{QP}$

Подставим значения длин катетов: $\tan(\angle APQ) = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $60^\circ$. Следовательно, $\angle APQ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.