Номер 138, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

138. Точка $P$ вне плоскости параллелограмма $ABCD$ выбрана так, что $AP = PC$ и $BP = PD$ (рис. 59). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке $Q$. Докажите, что прямая $PQ$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Рис. 59

Рассмотрим треугольник $APC$. По условию задачи $AP = PC$, следовательно, треугольник $APC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

$ABCD$ — это параллелограмм, а $Q$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, точка $Q$ является серединой диагонали $AC$, то есть $AQ = QC$.

В равнобедренном треугольнике $APC$ отрезок $PQ$ соединяет вершину $P$ с серединой основания $AC$. Следовательно, $PQ$ является медианой, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является и высотой. Отсюда следует, что $PQ \perp AC$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BPD$. По условию $BP = PD$, значит, треугольник $BPD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

Точка $Q$ также является серединой диагонали $BD$, то есть $BQ = QD$. В равнобедренном треугольнике $BPD$ отрезок $PQ$ является медианой, проведенной к основанию $BD$. Следовательно, $PQ$ также является и высотой в этом треугольнике, а значит $PQ \perp BD$.

Таким образом, прямая $PQ$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, лежащим в плоскости $ABC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Следовательно, прямая $PQ$ перпендикулярна плоскости $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.