Номер 142, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

142. Точки $A, B, C, D$ пространства таковы, что $AB = 2$, $BC = 3$, $BD = 4$, $CD = 5$ и $AD = 2\sqrt{5}$. Верно ли, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$?

Для того чтобы прямая BD была перпендикулярна плоскости ABC, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Проверим, перпендикулярна ли прямая BD прямым AB и BC, которые лежат в плоскости ABC и пересекаются в точке B.

1. Рассмотрим треугольник ABD. По условию, его стороны равны $AB = 2$, $BD = 4$ и $AD = 2\sqrt{5}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора. Если сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоугольный. Проверим равенство $AD^2 = AB^2 + BD^2$.

Найдём квадраты длин сторон:

$AB^2 = 2^2 = 4$

$BD^2 = 4^2 = 16$

$AD^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Сумма квадратов сторон AB и BD равна $AB^2 + BD^2 = 4 + 16 = 20$.

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник ABD является прямоугольным с прямым углом при вершине B ($\angle ABD = 90^\circ$). Следовательно, прямая BD перпендикулярна прямой AB ($BD \perp AB$).

2. Рассмотрим треугольник BCD. По условию, его стороны равны $BC = 3$, $BD = 4$ и $CD = 5$. Снова применим теорему, обратную теореме Пифагора. Проверим равенство $CD^2 = BC^2 + BD^2$.

Найдём квадраты длин сторон:

$BC^2 = 3^2 = 9$

$BD^2 = 4^2 = 16$

$CD^2 = 5^2 = 25$

Сумма квадратов сторон BC и BD равна $BC^2 + BD^2 = 9 + 16 = 25$.

Так как $BC^2 + BD^2 = CD^2$, треугольник BCD является прямоугольным с прямым углом при вершине B ($\angle CBD = 90^\circ$). Следовательно, прямая BD перпендикулярна прямой BC ($BD \perp BC$).

Поскольку прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и BC, которые лежат в плоскости ABC, то прямая BD перпендикулярна самой плоскости ABC.

Ответ: Да, верно.