Номер 145, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

145. Через точки $M$ и $N$ пространства проведены перпендикуляры $MA$ и $NB$ к плоскости $\alpha$ (рис. 62). Учитывая, что $MA = 5$ м, $NB = 11$ м, $AB = 12$ м и отрезок $MN$ пересекает плоскость $\alpha$, найдите расстояние от точки $M$ до:

а) точки $N$;

б) точки $P$, в которой отрезок $MN$ пересекает отрезок $AB$.

Рис. 62

Поскольку отрезки $MA$ и $NB$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу ($MA \parallel NB$). Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость, назовем ее $\beta$. В этой плоскости лежат точки $M, A, B, N$.

Так как отрезок $MN$ пересекает плоскость $\alpha$, точки $M$ и $N$ находятся по разные стороны от этой плоскости.

Фигура $MABN$ в плоскости $\beta$ является прямоугольной трапецией, где основания $MA$ и $NB$ перпендикулярны стороне $AB$.

а) точки N;

Чтобы найти расстояние $MN$, рассмотрим прямоугольную трапецию $MABN$. Проведем из точки $M$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения с продолжением отрезка $NB$ в точке $H$. Получим прямоугольный треугольник $MHN$.

Катет $MH$ равен стороне $AB$:
$MH = AB = 12$ м.

Катет $HN$ равен сумме длин оснований трапеции, так как точки $M$ и $N$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$:
$HN = MA + NB = 5 + 11 = 16$ м.

По теореме Пифагора для треугольника $MHN$ найдем гипотенузу $MN$:
$MN^2 = MH^2 + HN^2$
$MN^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$MN = \sqrt{400} = 20$ м.

Ответ: 20 м.

б) точки P, в которой отрезок MN пересекает отрезок AB.

Рассмотрим треугольники $\triangle MAP$ и $\triangle NBP$. Они оба лежат в плоскости $\beta$.

Поскольку $MA \perp \alpha$ и $NB \perp \alpha$, а отрезок $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то $MA \perp AB$ и $NB \perp AB$. Следовательно, $\triangle MAP$ и $\triangle NBP$ — прямоугольные треугольники ($\angle MAP = \angle NBP = 90^\circ$).

Углы $\angle MPA$ и $\angle NPB$ являются вертикальными, поэтому они равны.

Таким образом, треугольники $\triangle MAP$ и $\triangle NBP$ подобны по двум углам (острому и прямому).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{MA}{NB} = \frac{AP}{BP} = \frac{MP}{NP}$

Подставим известные значения:
$\frac{5}{11} = \frac{AP}{BP}$

Мы знаем, что $AB = AP + BP = 12$ м. Выразим $BP$ через $AP$: $BP = 12 - AP$.

Подставим это в пропорцию:
$\frac{AP}{12 - AP} = \frac{5}{11}$
$11 \cdot AP = 5 \cdot (12 - AP)$
$11 \cdot AP = 60 - 5 \cdot AP$
$16 \cdot AP = 60$
$AP = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3.75$ м.

Теперь найдем расстояние $MP$, которое является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle MAP$. По теореме Пифагора:
$MP^2 = MA^2 + AP^2$
$MP^2 = 5^2 + (\frac{15}{4})^2 = 25 + \frac{225}{16} = \frac{400}{16} + \frac{225}{16} = \frac{625}{16}$
$MP = \sqrt{\frac{625}{16}} = \frac{25}{4} = 6.25$ м.

Ответ: 6,25 м.