Номер 149, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

149. Пусть $A, B, C, D$ — точки пространства. Докажите, что если $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$, то прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть точки A, B, C, D заданы своими радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ относительно некоторого произвольного начала координат O.

Квадрат длины отрезка между двумя точками, например A и B, равен квадрату модуля вектора, соединяющего эти точки: $AB^2 = |\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2$.

Перепишем данное в условии равенство $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$ в векторной форме:

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 + |\vec{d} - \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{d}|^2$

Раскроем квадраты модулей, используя свойство скалярного произведения $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$:

$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{c}) \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = (\vec{c} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{a} - \vec{d})$

Выполнив скалярное умножение, получим:

$(|\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{a}|^2) + (|\vec{d}|^2 - 2\vec{c}\cdot\vec{d} + |\vec{c}|^2) = (|\vec{c}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{b}|^2) + (|\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{d} + |\vec{d}|^2)$

Сократим одинаковые слагаемые ($|\vec{a}|^2, |\vec{b}|^2, |\vec{c}|^2, |\vec{d}|^2$) в обеих частях равенства:

$-2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{c}\cdot\vec{d} = -2\vec{b}\cdot\vec{c} - 2\vec{a}\cdot\vec{d}$

Разделим обе части на -2:

$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{d} = \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{a}\cdot\vec{d}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{d} - \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{d} = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$\vec{a}\cdot(\vec{b} - \vec{d}) - \vec{c}\cdot(\vec{b} - \vec{d}) = 0$

$(\vec{a} - \vec{c})\cdot(\vec{b} - \vec{d}) = 0$

Заметим, что векторы $\vec{a} - \vec{c} = \vec{CA}$ и $\vec{b} - \vec{d} = \vec{DB}$. Таким образом, мы получили равенство скалярного произведения:

$\vec{CA} \cdot \vec{DB} = 0$

Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{DB}$ являются направляющими векторами для прямых AC и BD соответственно (поскольку $\vec{CA} = -\vec{AC}$ и $\vec{DB} = -\vec{BD}$, они коллинеарны векторам $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$). Равенство их скалярного произведения нулю означает, что эти векторы ортогональны, и, следовательно, прямые AC и BD перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.