Номер 155, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

155. Точка $S$ находится на расстоянии $5 \text{ см}$ от каждой вершины треугольника $ABC$, в котором $AB = AC = 6 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$. Найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$.

Пусть SH — перпендикуляр, опущенный из точки S на плоскость треугольника ABC. Тогда длина отрезка SH является искомым расстоянием.

Поскольку точка S находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника ABC ($SA = SB = SC = 5$ см), то точка H (основание перпендикуляра SH) является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Отрезки HA, HB, HC равны радиусу R этой окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SHA (угол $\angle SHA = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $SH^2 = SA^2 - HA^2$. Чтобы найти SH, нам нужно сначала вычислить радиус описанной окружности R = HA.

Для нахождения радиуса R воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4K}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а K — его площадь.

В треугольнике ABC нам даны стороны $AB = AC = 6$ см и $BC = 8$ см.

1. Найдем площадь треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, проведем высоту AM к основанию BC. Эта высота также является медианой, поэтому $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Из прямоугольного треугольника ABM по теореме Пифагора найдем высоту AM:

$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$K = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$ см².

2. Найдем радиус описанной окружности R.

$R = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4K} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 8}{4 \cdot 8\sqrt{5}} = \frac{288}{32\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$ см.

Таким образом, $HA = R = \frac{9}{\sqrt{5}}$ см.

3. Найдем расстояние SH.

Подставим известные значения в формулу $SH = \sqrt{SA^2 - HA^2}$:

$SH = \sqrt{5^2 - \left(\frac{9}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{81}{5}} = \sqrt{\frac{125 - 81}{5}} = \sqrt{\frac{44}{5}}$.

Упростим выражение:

$SH = \frac{\sqrt{44}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{11} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{55}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{55}}{5}$ см.