Номер 154, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

154. Прямая $PA$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Найдите расстояния от точки $P$ до сторон и вершин квадрата, учитывая, что $PA = b$.

Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $a$. Прямая $PA$ перпендикулярна плоскости квадрата, и её длина $PA = b$.

Расстояния от точки P до вершин квадрата

Расстояние до вершины A:
Это расстояние равно длине отрезка $PA$, которая дана по условию.
Ответ: $b$.

Расстояние до вершин B и D:
Поскольку $PA$ перпендикулярна плоскости квадрата, то $PA \perp AB$ и $PA \perp AD$. Следовательно, треугольники $\triangle PAB$ и $\triangle PAD$ — прямоугольные с прямыми углами при вершине $A$.
Стороны квадрата $AB = AD = a$.
По теореме Пифагора для $\triangle PAB$:
$PB^2 = PA^2 + AB^2 = b^2 + a^2 \implies PB = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Аналогично для $\triangle PAD$:
$PD^2 = PA^2 + AD^2 = b^2 + a^2 \implies PD = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Расстояния до вершин $B$ и $D$ равны.
Ответ: $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Расстояние до вершины C:
Рассмотрим треугольник $\triangle PAC$. Так как $PA \perp \text{пл.}(ABCD)$, то $PA \perp AC$. Значит, $\triangle PAC$ — прямоугольный.
$AC$ — диагональ квадрата. Её можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies AC = a\sqrt{2}$.
Теперь по теореме Пифагора для $\triangle PAC$:
$PC^2 = PA^2 + AC^2 = b^2 + (a\sqrt{2})^2 = b^2 + 2a^2$.
$PC = \sqrt{2a^2 + b^2}$.
Ответ: $\sqrt{2a^2 + b^2}$.

Расстояния от точки P до сторон квадрата

Расстояние до сторон AB и AD:
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Так как $PA \perp \text{пл.}(ABCD)$, то $PA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Таким образом, $PA \perp AB$ и $PA \perp AD$.
Следовательно, $PA$ является искомым расстоянием.
Ответ: $b$.

Расстояние до сторон BC и CD:
Рассмотрим расстояние до стороны $BC$. $PA$ — перпендикуляр к плоскости, $PB$ — наклонная, $AB$ — её проекция. Поскольку $ABCD$ — квадрат, $AB \perp BC$.
По теореме о трех перпендикулярах, если проекция ($AB$) перпендикулярна прямой ($BC$), то и сама наклонная ($PB$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $PB \perp BC$.
Длина $PB$ и есть расстояние от точки $P$ до стороны $BC$. Мы уже вычислили её: $PB = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Аналогично для стороны $CD$: $PA$ — перпендикуляр, $PD$ — наклонная, $AD$ — проекция. $AD \perp CD$, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, $PD \perp CD$.
Расстояние от $P$ до $CD$ равно длине $PD$, которая также равна $\sqrt{a^2 + b^2}$.
Расстояния до сторон $BC$ и $CD$ равны.
Ответ: $\sqrt{a^2 + b^2}$.