Номер 160, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

160. Расстояние от трех последовательных вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ равны 3, 9 и 12. Каким может быть расстояние от четвертой вершины параллелограмма до плоскости $\alpha$?

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, а $A, B, C$ — три его последовательные вершины. Пусть $h_A, h_B, h_C, h_D$ — расстояния от вершин $A, B, C, D$ до плоскости $\alpha$ соответственно. По условию, расстояния от трех последовательных вершин равны 3, 9 и 12. Это означает, что набор значений $\{h_A, h_B, h_C\}$ является перестановкой набора $\{3, 9, 12\}$.

Ключевым свойством параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $O$ является серединой как $AC$, так и $BD$.

Введем систему координат, в которой плоскость $\alpha$ является плоскостью $xy$. Тогда расстояние от любой точки до плоскости $\alpha$ равно модулю ее аппликаты (координаты $z$). Пусть $z_A, z_B, z_C, z_D$ — аппликаты вершин параллелограмма. Эти значения являются "ориентированными расстояниями" до плоскости: они положительны, если вершина находится с одной стороны от плоскости, и отрицательны, если с другой. Расстояния, данные в задаче, равны модулям этих величин: $h_A = |z_A|$, $h_B = |z_B|$ и т.д.

Поскольку $O$ — середина $AC$ и $BD$, для ее аппликаты $z_O$ выполняются равенства:

$z_O = \frac{z_A + z_C}{2}$ и $z_O = \frac{z_B + z_D}{2}$

Отсюда следует основное соотношение для аппликат вершин параллелограмма:

$z_A + z_C = z_B + z_D$

Выразим из этого равенства аппликату четвертой вершины $D$:

$z_D = z_A + z_C - z_B$

Искомое расстояние от четвертой вершины до плоскости $\alpha$ равно $h_D = |z_D| = |z_A + z_C - z_B|$.

Рассмотрим возможные варианты расположения вершин параллелограмма относительно плоскости $\alpha$, которые определяют знаки аппликат $z_A, z_B, z_C$.

1. Все три вершины A, B, C находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$.

В этом случае аппликаты $z_A, z_B, z_C$ имеют одинаковый знак. Без ограничения общности, будем считать их положительными. Тогда $z_A = h_A$, $z_B = h_B$, $z_C = h_C$. Формула для расстояния до четвертой вершины принимает вид:

$h_D = |h_A + h_C - h_B|$

Набор $\{h_A, h_B, h_C\}$ — это перестановка чисел $\{3, 9, 12\}$. Рассмотрим все возможные варианты, учитывая, что $h_A$ и $h_C$ играют симметричную роль:

• Если $h_B = 3$, а $\{h_A, h_C\} = \{9, 12\}$, то $h_D = |9 + 12 - 3| = 18$.
• Если $h_B = 9$, а $\{h_A, h_C\} = \{3, 12\}$, то $h_D = |3 + 12 - 9| = 6$.
• Если $h_B = 12$, а $\{h_A, h_C\} = \{3, 9\}$, то $h_D = |3 + 9 - 12| = 0$.

В этом случае возможные расстояния: 0, 6, 18.

2. Плоскость $\alpha$ проходит между вершинами A, B, C.

Поскольку параллелограмм является выпуклой фигурой, плоскость может пересекать его так, что две смежные вершины окажутся по одну сторону, а две другие смежные — по другую. Случай, когда одна вершина находится по одну сторону, а три другие — по другую, для параллелограмма невозможен. Также невозможен случай, когда противолежащие вершины ($A, C$) находятся по одну сторону, а другая пара противолежащих вершин ($B, D$) — по другую.

Следовательно, для последовательных вершин $A, B, C$ возможны два симметричных варианта:

• Вершины $A$ и $B$ находятся по одну сторону от плоскости, а вершина $C$ — по другую.
• Вершина $A$ находится по одну сторону, а вершины $B$ и $C$ — по другую.

Рассмотрим первый вариант. Пусть $z_A > 0$, $z_B > 0$, а $z_C < 0$. Тогда $z_A = h_A, z_B = h_B, z_C = -h_C$. Подставим эти значения в формулу для $z_D$:

$z_D = z_A + z_C - z_B = h_A - h_C - h_B$

Тогда расстояние $h_D$ будет равно:

$h_D = |h_A - h_C - h_B|$

Переберем возможные значения для $h_A, h_B, h_C$ из набора $\{3, 9, 12\}$. Результат будет зависеть от того, какое из чисел является суммой двух других, а какое — одним из слагаемых.

• $h_D = |3 - 9 - 12| = |-18| = 18$.
• $h_D = |9 - 3 - 12| = |-6| = 6$.
• $h_D = |12 - 3 - 9| = |0| = 0$.

Как видим, перестановка слагаемых в выражении $|a-b-c|$ не меняет множества возможных результатов. Этот случай также дает возможные расстояния 0, 6, 18.

Второй вариант ($z_A > 0, z_B < 0, z_C < 0$) приводит к формуле $z_D = z_A + z_C - z_B = h_A - h_C - (-h_B) = h_A + h_B - h_C$, что совпадает с формулой из первого случая (с точностью до переименования переменных) и, следовательно, дает те же результаты.

Оба рассмотренных случая приводят к одному и тому же набору возможных значений для расстояния от четвертой вершины.

Ответ: Расстояние от четвертой вершины параллелограмма до плоскости $\alpha$ может быть равно 0, 6 или 18.