Номер 163, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

163. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$. Докажите, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = c$. Чтобы доказать, что данный параллелепипед является кубом, необходимо показать, что его измерения равны, то есть $a = b = c$.

По условию задачи диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$. Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $AC_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $A_1BD$. В частности, $AC_1 \perp BD$.

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, и, следовательно, $AA_1 \perp BD$.

Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC_1$ и $AA_1$ (которые задают плоскость $ACC_1A_1$). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(ACC_1A_1)$.

Поскольку диагональ основания $AC$ лежит в плоскости $(ACC_1A_1)$, то $BD \perp AC$. Основание $ABCD$ является прямоугольником, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Такой прямоугольник является квадратом. Следовательно, $AB = AD$, то есть $a = b$.

Аналогично, из того, что $AC_1 \perp (A_1BD)$, следует, что $AC_1 \perp A_1B$.

Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно боковой грани $(ABB_1A_1)$ (поскольку $B_1C_1 \perp A_1B_1$ и $B_1C_1 \perp BB_1$), и, следовательно, $B_1C_1 \perp A_1B$.

Прямая $A_1B$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $C_1$ прямым $AC_1$ и $B_1C_1$ (эти прямые задают плоскость $AB_1C_1$). Следовательно, прямая $A_1B$ перпендикулярна плоскости $(AB_1C_1)$.

Поскольку диагональ боковой грани $AB_1$ лежит в плоскости $(AB_1C_1)$, то $A_1B \perp AB_1$. Боковая грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Такой прямоугольник является квадратом. Следовательно, $AB = AA_1$, то есть $a = c$.

Таким образом, мы доказали, что $a = b$ и $a = c$, откуда следует, что $a = b = c$. Так как все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, он является кубом.

Ответ: Доказано, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб.