Номер 169, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

169*. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость через вершину $B$ и середины ребер $AD$ и $CC_1$. Найдите угол, который она образует с плоскостью $ABC$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат, поместив ее начало в вершину $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим ось $Ox$ по ребру $AB$, ось $Oy$ по ребру $AD$ и ось $Oz$ по ребру $AA_1$. Примем длину ребра куба равной $a$.

Найдем координаты точек, через которые проходит секущая плоскость. Это вершина $B$ и середины ребер $AD$ (точка $M$) и $CC_1$ (точка $N$).

Координаты вершины $B$: $B(a, 0, 0)$.

Точка $M$ является серединой ребра $AD$. Вершины имеют координаты $A(0, 0, 0)$ и $D(0, a, 0)$. Координаты точки $M$ будут:$M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, 0\right)$.

Точка $N$ является серединой ребра $CC_1$. Вершины имеют координаты $C(a, a, 0)$ и $C_1(a, a, a)$. Координаты точки $N$ будут:$N = \left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = \left(a, a, \frac{a}{2}\right)$.

Искомый угол — это угол между секущей плоскостью, проходящей через точки $B, M, N$, и плоскостью основания $ABC$. Этот угол равен углу между нормальными векторами к этим плоскостям.

Плоскость основания $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$. Ее уравнение $z=0$, а нормальный вектор $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Чтобы найти нормальный вектор $\vec{n}_{BMN}$ к секущей плоскости, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например $\vec{MB}$ и $\vec{MN}$, и вычислим их векторное произведение.

$\vec{MB} = (a-0, 0-\frac{a}{2}, 0-0) = \left(a, -\frac{a}{2}, 0\right)$.

$\vec{MN} = (a-0, a-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}-0) = \left(a, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{BMN}$ равен их векторному произведению:

$\vec{n}_{BMN} = \vec{MB} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & -a/2 & 0 \\ a & a/2 & a/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(-\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} - 0\right) - \mathbf{j}\left(a \cdot \frac{a}{2} - 0\right) + \mathbf{k}\left(a \cdot \frac{a}{2} - \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot a\right)$

$\vec{n}_{BMN} = \mathbf{i}\left(-\frac{a^2}{4}\right) - \mathbf{j}\left(\frac{a^2}{2}\right) + \mathbf{k}\left(a^2\right) = \left(-\frac{a^2}{4}, -\frac{a^2}{2}, a^2\right)$.

Направление нормального вектора не изменится, если его умножить на число. Для упрощения умножим полученный вектор на константу $-\frac{4}{a^2}$ (так как $a \neq 0$). Получим более простой вектор нормали $\vec{n} = (1, 2, -4)$.

Теперь найдем косинус угла $\theta$ между нормальными векторами $\vec{n}=(1, 2, -4)$ и $\vec{n}_{ABC}=(0, 0, 1)$ по формуле скалярного произведения:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{n}_{ABC}||} = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + (-4) \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{1+4+16} \cdot \sqrt{1}} = \frac{4}{\sqrt{21}}$.

Следовательно, искомый угол $\theta$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{21}}\right)$.