Номер 173, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

173. В правильной пирамиде SABCD длины апофемы и ребра основания равны $a$. Изобразите на рисунке общий перпендикуляр ребра основания и скрещивающегося с ним бокового ребра, найдите длину этого общего перпендикуляра.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, в которой сторона основания $AB=BC=CD=DA=a$, и апофема (высота боковой грани, например, $SM$ для грани $SCD$) также равна $a$.

Необходимо найти общий перпендикуляр и его длину для ребра основания и скрещивающегося с ним бокового ребра. Выберем ребро основания $CD$ и скрещивающееся с ним боковое ребро $SA$.

Для построения общего перпендикуляра воспользуемся методом ортогонального проецирования. Пусть $PQ$ — искомый общий перпендикуляр, где точка $P$ лежит на ребре $CD$, а точка $Q$ — на ребре $SA$.

1. Введем вспомогательную плоскость. Пусть $M$ — середина ребра $CD$, а $N$ — середина ребра $AB$. Плоскость $(SMN)$ проходит через вершину $S$ и перпендикулярна ребру основания $CD$ (поскольку $CD \perp SM$ как к апофеме и $CD \perp MN$ как к линии, параллельной $AD$).

2. Спроецируем прямую $SA$ на плоскость $(SMN)$. Точка $S$ уже лежит в этой плоскости. Проекцией точки $A$ на плоскость $(SMN)$ будет точка $N$, так как отрезок $AN$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в этой плоскости ($MN$ и $SO$, где $O$ — центр основания). Таким образом, проекцией прямой $SA$ на плоскость $(SMN)$ является прямая $SN$.

3. Прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(SMN)$, поэтому она проецируется на эту плоскость в точку $M$.

4. Общий перпендикуляр $PQ$ должен быть параллелен плоскости $(SMN)$, так как он перпендикулярен $CD$. Следовательно, его проекция на эту плоскость будет иметь ту же длину. Проекцией отрезка $PQ$ на плоскость $(SMN)$ будет отрезок $MH$, где $H$ — проекция точки $Q$ на эту плоскость. При этом $MH$ должен быть перпендикулярен проекции прямой $SA$, то есть прямой $SN$.

5. Таким образом, для построения общего перпендикуляра $PQ$ нужно:

• В плоскости $(SMN)$ опустить перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на прямую $SN$.
• Через точку $H$ провести прямую, перпендикулярную плоскости $(SMN)$ (то есть параллельную $CD$), до пересечения с ребром $SA$ в точке $Q$.
• Из точки $Q$ провести прямую, параллельную $MH$, до пересечения с ребром $CD$ в точке $P$.

Отрезок $PQ$ и будет искомым общим перпендикуляром.

Длина общего перпендикуляра $PQ$ равна длине его ортогональной проекции на плоскость $(SMN)$, то есть длине отрезка $MH$. Найдем длину $MH$.

Рассмотрим треугольник $SMN$.

• $SM$ — апофема грани $SCD$. По условию, $SM = a$.
• $SN$ — апофема грани $SAB$. Так как пирамида правильная, все апофемы равны, поэтому $SN = a$.
• $MN$ — отрезок, соединяющий середины противоположных сторон квадрата $ABCD$. Его длина равна стороне квадрата, то есть $MN = a$.

Таким образом, треугольник $SMN$ является равносторонним со стороной $a$.

Отрезок $MH$ — это высота, проведенная из вершины $M$ к стороне $SN$ в равностороннем треугольнике $SMN$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $s$ вычисляется по формуле $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя $s = a$, получаем длину $MH$:

$|MH| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, длина общего перпендикуляра $PQ$ также равна этой величине.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.