Номер 178, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

178. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = 4$, $CC_1 = 3$, $BC = 5\sqrt{3}$. Найдите угол между прямыми $AB$ и $A_1C$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_1C$ воспользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми. Этот угол равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$. Поэтому искомый угол между прямыми $AB$ и $A_1C$ будет равен углу между пересекающимися прямыми $A_1B_1$ и $A_1C$. Эти прямые пересекаются в точке $A_1$, значит, нам нужно найти величину угла $\angle B_1A_1C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1B_1C$ и найдем длины его сторон.

1. Длина стороны $A_1B_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то противоположные ребра равны: $A_1B_1 = AB = 4$.

2. Длина стороны $B_1C$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BC$ (угол $\angle B = 90^\circ$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$). По теореме Пифагора:$B_1C^2 = BB_1^2 + BC^2$. Высота параллелепипеда $BB_1 = CC_1 = 3$. Длина $BC$ дана по условию: $BC = 5\sqrt{3}$.$B_1C^2 = 3^2 + (5\sqrt{3})^2 = 9 + 25 \cdot 3 = 9 + 75 = 84$. Следовательно, $B_1C = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$.

3. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, ребро $A_1B_1$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$. Это означает, что прямая $A_1B_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $B_1C$. Таким образом, угол $\angle A_1B_1C$ является прямым, и треугольник $\triangle A_1B_1C$ — прямоугольный.

Теперь мы можем найти косинус угла $\angle B_1A_1C$ в прямоугольном треугольнике $\triangle A_1B_1C$. Прилежащий катет к этому углу — $A_1B_1$, а гипотенузу $A_1C$ найдем по теореме Пифагора:$A_1C^2 = A_1B_1^2 + B_1C^2 = 4^2 + (\sqrt{84})^2 = 16 + 84 = 100$.$A_1C = \sqrt{100} = 10$.

Косинус угла $\angle B_1A_1C$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$\cos(\angle B_1A_1C) = \frac{A_1B_1}{A_1C} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Таким образом, искомый угол равен $\arccos\left(\frac{2}{5}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{5}\right)$.