Номер 185, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

185. Окружность $\omega$ с центром $O$ имеет радиус $r$. Прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $K$ окружности $\omega$. Проекция прямой $l$ на плоскость $\alpha$ касается $\omega$. Найдите расстояние от точки $O$ до прямой $l$.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, в которой лежит окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $K$, причем точка $K$ принадлежит окружности $\omega$.

Обозначим через $l'$ проекцию прямой $l$ на плоскость $\alpha$. Так как точка $K$ принадлежит прямой $l$ и одновременно плоскости $\alpha$, то ее проекцией на эту плоскость является сама точка $K$. Поскольку $K$ лежит на прямой $l$, ее проекция (то есть сама точка $K$) должна лежать на проекции прямой, то есть $K \in l'$.

По условию задачи, прямая $l'$ касается окружности $\omega$. Это означает, что $l'$ и $\omega$ имеют ровно одну общую точку. Мы уже знаем, что точка $K$ принадлежит и прямой $l'$, и окружности $\omega$. Следовательно, $K$ и является этой единственной точкой касания.

Таким образом, прямая $l'$ является касательной к окружности $\omega$ в точке $K$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Отсюда следует, что радиус $OK$ перпендикулярен прямой $l'$ ($OK \perp l'$).

Теперь воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть наклонная $l$ к плоскости $\alpha$ и ее проекция $l'$ на эту плоскость. Прямая $OK$ лежит в плоскости $\alpha$, проходит через основание наклонной $l$ (точку $K$) и перпендикулярна ее проекции $l'$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, $OK \perp l$.

Расстояние от точки до прямой по определению равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Поскольку отрезок $OK$ соединяет точку $O$ с прямой $l$ и перпендикулярен ей, то его длина и есть искомое расстояние. Длина отрезка $OK$ равна радиусу окружности $\omega$, то есть $r$. Ответ: $r$.