Номер 191, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

191. Прямые $a$ и $b$ плоскости $\alpha$ перпендикулярны. Прямая $l$ образует с ними углы $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$.

Пусть $\vec{v}$ — единичный направляющий вектор прямой $l$, $\vec{u}_a$ и $\vec{u}_b$ — единичные направляющие векторы прямых $a$ и $b$ соответственно, а $\vec{n}$ — единичный вектор нормали к плоскости $\alpha$.

Из условия задачи следует, что прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и перпендикулярны друг другу ($a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \perp b$). Это означает, что их направляющие векторы $\vec{u}_a$ и $\vec{u}_b$ ортогональны. Так как векторы $\vec{u}_a$ и $\vec{u}_b$ лежат в плоскости $\alpha$, они оба перпендикулярны вектору нормали $\vec{n}$. Таким образом, векторы $\{\vec{u}_a, \vec{u}_b, \vec{n}\}$ образуют ортонормированный базис в трехмерном пространстве.

Для любого единичного вектора $\vec{v}$ в этом базисе справедливо соотношение, связывающее квадраты косинусов углов, которые вектор образует с осями базиса (квадраты его проекций):

$(\vec{v} \cdot \vec{u}_a)^2 + (\vec{v} \cdot \vec{u}_b)^2 + (\vec{v} \cdot \vec{n})^2 = |\vec{v}|^2 = 1$.

Угол $\gamma_a$ между прямыми $l$ и $a$ равен $45^\circ$. Косинус этого угла равен модулю скалярного произведения их единичных направляющих векторов:

$\cos \gamma_a = |\vec{v} \cdot \vec{u}_a| = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\gamma_b$ между прямыми $l$ и $b$ равен $60^\circ$. Аналогично:

$\cos \gamma_b = |\vec{v} \cdot \vec{u}_b| = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Пусть $\phi$ — искомый угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$. По определению, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю скалярного произведения направляющего вектора прямой и вектора нормали к плоскости:

$\sin \phi = |\vec{v} \cdot \vec{n}|$.

Подставим полученные выражения в базисное соотношение:

$(\cos 45^\circ)^2 + (\cos 60^\circ)^2 + (\sin \phi)^2 = 1$.

Выполним вычисления:

$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \sin^2 \phi = 1$

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \sin^2 \phi = 1$

$\frac{3}{4} + \sin^2 \phi = 1$

$\sin^2 \phi = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Поскольку угол между прямой и плоскостью находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, его синус неотрицателен. Следовательно:

$\sin \phi = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим угол $\phi$:

$\phi = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.