Номер 197, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

197. Докажите, что внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, равны.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$) и секущая плоскость $\gamma$.

Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $a$, а плоскость $\beta$ — по прямой $b$. То есть, $a = \alpha \cap \gamma$ и $b = \beta \cap \gamma$.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны. Отсюда следует, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Обе эти параллельные прямые, $a$ и $b$, лежат в одной плоскости — в плоскости $\gamma$. Внутренние накрест лежащие углы, о которых идёт речь в задаче, — это углы, образованные в плоскости $\gamma$ при пересечении прямых $a$ и $b$ некоторой секущей прямой $c$, также лежащей в плоскости $\gamma$.

Проведём в плоскости $\gamma$ произвольную прямую $c$, которая пересекает прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$. Прямая $c$ является секущей для параллельных прямых $a$ и $b$.

Мы получили классическую планиметрическую конфигурацию: две параллельные прямые $a$ и $b$ и их секущая $c$ в плоскости $\gamma$. По теореме о свойствах параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны.

Таким образом, мы доказали, что внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.