Номер 200, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

200. Докажите, что если плоскость $\beta$ и не принадлежащая ей прямая $l$ перпендикулярны плоскости $\alpha$, то плоскость $\beta$ и прямая $l$ параллельны.

Докажем данное утверждение методом от противного.

По условию задачи нам дано:

• Плоскость $β$ перпендикулярна плоскости $α$ ($β \perp α$).
• Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $α$ ($l \perp α$).
• Прямая $l$ не принадлежит плоскости $β$ ($l \not\subset β$).

Требуется доказать, что прямая $l$ параллельна плоскости $β$ ($l \parallel β$).

Предположим обратное: прямая $l$ не параллельна плоскости $β$. Если прямая и плоскость не параллельны, они должны пересекаться в одной точке. Обозначим эту точку пересечения как $P$. Таким образом, точка $P$ одновременно принадлежит и прямой $l$, и плоскости $β$ ($P = l \cap β$).

Из условия мы знаем, что $l \perp α$. Значит, через точку $P$ проходит прямая $l$, перпендикулярная плоскости $α$.

Также по условию $β \perp α$. Так как плоскости перпендикулярны, они пересекаются. Обозначим линию их пересечения как $m$ ($m = α \cap β$).

Поскольку точка $P$ принадлежит плоскости $β$, мы можем провести в этой плоскости прямую $l'$ через точку $P$ перпендикулярно линии пересечения $m$.

Согласно свойству перпендикулярных плоскостей: если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости. В нашем случае, так как $l' \subset β$ и $l' \perp m$, то прямая $l'$ перпендикулярна плоскости $α$ ($l' \perp α$).

Таким образом, мы получили, что через одну и ту же точку $P$ проходят две различные прямые, $l$ и $l'$, и обе они перпендикулярны одной и той же плоскости $α$.

Однако это противоречит теореме о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости. Следовательно, наши прямые $l$ и $l'$ должны совпадать.

Но если прямая $l$ совпадает с прямой $l'$, а прямая $l'$ по построению лежит в плоскости $β$ ($l' \subset β$), то это означает, что и прямая $l$ должна лежать в плоскости $β$ ($l \subset β$).

Это утверждение напрямую противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что прямая $l$ не принадлежит плоскости $β$ ($l \not\subset β$).

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $l$ и плоскость $β$ не могут пересекаться.

По определению, если прямая и плоскость не имеют общих точек, они параллельны. Значит, $l \parallel β$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что плоскость $β$ и прямая $l$ параллельны.