Номер 199, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

199. Прямые $a_1$ и $b_1$, $a_2$ и $b_2$ — проекции прямых $a$ и $b$ соответственно на плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$, которые пересекаются по прямой $c$, причем ни одна из прямых $a_1$ и $b_1$, $a_2$ и $b_2$ прямой $c$ не перпендикулярна (рис. 80). Докажите, что $a \parallel b$ тогда и только тогда, когда $a_1 \parallel b_1$ и $a_2 \parallel b_2$.

Рис. 80

Для доказательства утверждения "тогда и только тогда, когда" (эквивалентности) необходимо доказать два утверждения: прямое (необходимость) и обратное (достаточность).

Доказательство необходимости (Если $a \parallel b$, то $a_1 \parallel b_1$ и $a_2 \parallel b_2$)

Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Две параллельные прямые в пространстве определяют единственную плоскость $\gamma$, в которой они обе лежат.

Рассмотрим проекцию на плоскость $\alpha_1$. По определению, прямая $a_1$ является ортогональной проекцией прямой $a$, а прямая $b_1$ — ортогональной проекцией прямой $b$.

Ортогональная проекция прямой на плоскость есть линия пересечения этой плоскости с проектирующей плоскостью, которая проходит через исходную прямую и перпендикулярна плоскости проекции. Пусть $\beta_1$ — проектирующая плоскость для прямой $a$ на плоскость $\alpha_1$ (т.е. $\beta_1$ проходит через $a$ и $\beta_1 \perp \alpha_1$), а $\delta_1$ — проектирующая плоскость для прямой $b$ на $\alpha_1$ (т.е. $\delta_1$ проходит через $b$ и $\delta_1 \perp \alpha_1$).

Тогда $a_1 = \beta_1 \cap \alpha_1$ и $b_1 = \delta_1 \cap \alpha_1$.

Поскольку $a \parallel b$, и проектирующие плоскости $\beta_1$ и $\delta_1$ перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha_1$, то плоскости $\beta_1$ и $\delta_1$ параллельны. Действительно, если взять произвольную точку $A$ на прямой $a$ и точку $B$ на прямой $b$, и опустить из них перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на плоскость $\alpha_1$, то $AA' \parallel BB'$. Так как две пересекающиеся прямые ($a$ и $AA'$) в плоскости $\beta_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($b$ и $BB'$) в плоскости $\delta_1$, то по признаку параллельности плоскостей, $\beta_1 \parallel \delta_1$.

Плоскость $\alpha_1$ пересекает две параллельные плоскости $\beta_1$ и $\delta_1$ по прямым $a_1$ и $b_1$. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Следовательно, $a_1 \parallel b_1$.

Полностью аналогичное рассуждение применимо и для проекций на плоскость $\alpha_2$. Если $a \parallel b$, то их проекции $a_2$ и $b_2$ на плоскость $\alpha_2$ также будут параллельны ($a_2 \parallel b_2$).

Таким образом, доказано, что если $a \parallel b$, то $a_1 \parallel b_1$ и $a_2 \parallel b_2$.

Ответ: Необходимость доказана.

Доказательство достаточности (Если $a_1 \parallel b_1$ и $a_2 \parallel b_2$, то $a \parallel b$)

Пусть проекции прямых параллельны: $a_1 \parallel b_1$ и $a_2 \parallel b_2$. Введем те же проектирующие плоскости, что и в первой части доказательства:

• $\beta_1$ — плоскость, проходящая через $a$ и перпендикулярная $\alpha_1$.
• $\delta_1$ — плоскость, проходящая через $b$ и перпендикулярная $\alpha_1$.
• $\beta_2$ — плоскость, проходящая через $a$ и перпендикулярная $\alpha_2$.
• $\delta_2$ — плоскость, проходящая через $b$ и перпендикулярная $\alpha_2$.

Из того, что $a_1 = \beta_1 \cap \alpha_1$, $b_1 = \delta_1 \cap \alpha_1$, $\beta_1 \perp \alpha_1$, $\delta_1 \perp \alpha_1$ и дано, что $a_1 \parallel b_1$, следует, что проектирующие плоскости параллельны: $\beta_1 \parallel \delta_1$.

Аналогично, из того, что $a_2 = \beta_2 \cap \alpha_2$, $b_2 = \delta_2 \cap \alpha_2$, $\beta_2 \perp \alpha_2$, $\delta_2 \perp \alpha_2$ и дано, что $a_2 \parallel b_2$, следует, что $\beta_2 \parallel \delta_2$.

Прямая $a$ по построению является линией пересечения плоскостей $\beta_1$ и $\beta_2$ ($a = \beta_1 \cap \beta_2$), а прямая $b$ — линией пересечения плоскостей $\delta_1$ и $\delta_2$ ($b = \delta_1 \cap \delta_2$). Для корректности этого определения необходимо, чтобы плоскости в парах пересекались, а не были параллельны.

Докажем от противного, что $\beta_1$ и $\beta_2$ не параллельны. Предположим, что $\beta_1 \parallel \beta_2$. По построению $\beta_1 \perp \alpha_1$, значит и $\beta_2 \perp \alpha_1$. Также мы знаем, что $\beta_2 \perp \alpha_2$. Получается, что плоскость $\beta_2$ перпендикулярна двум пересекающимся плоскостям $\alpha_1$ и $\alpha_2$. В этом случае она перпендикулярна их линии пересечения $c$. То есть $\beta_2 \perp c$.

Поскольку прямая $a_2$ лежит в плоскости $\beta_2$ ($a_2 = \beta_2 \cap \alpha_2$), то из $\beta_2 \perp c$ следует, что $a_2 \perp c$. Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что ни одна из проекций не перпендикулярна прямой $c$.

Следовательно, наше предположение неверно, и плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ пересекаются. Их линия пересечения — это прямая $a$. Аналогично, используя условие, что $b_2$ не перпендикулярна $c$, доказывается, что плоскости $\delta_1$ и $\delta_2$ пересекаются по прямой $b$.

Итак, мы имеем две пересекающиеся плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$, которые соответственно параллельны двум пересекающимся плоскостям $\delta_1$ и $\delta_2$. По теореме о линиях пересечения двух пар параллельных плоскостей, их линии пересечения $a$ и $b$ параллельны.

Следовательно, $a \parallel b$. Таким образом, доказано, что если $a_1 \parallel b_1$ и $a_2 \parallel b_2$, то $a \parallel b$.

Ответ: Достаточность доказана.