Номер 196, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

196. Докажите, что через данную прямую, не перпендикулярную данной плоскости $\alpha$, можно провести плоскость, перпендикулярную $\alpha$, и притом только одну.

Доказательство этого утверждения состоит из двух частей: доказательства существования такой плоскости и доказательства её единственности.

Доказательство существования

Пусть нам даны плоскость $\alpha$ и прямая $a$, которая не перпендикулярна плоскости $\alpha$. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через эту точку $M$ проведём прямую $b$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Согласно аксиомам стереометрии, такая прямая существует и она единственна.

Поскольку по условию задачи прямая $a$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, а прямая $b$ перпендикулярна ей по построению, то прямые $a$ и $b$ являются различными. Так как они обе проходят через точку $M$, они пересекаются в этой точке.

Через две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ проходит единственная плоскость. Назовём эту плоскость $\beta$.

По нашему построению, плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$. Кроме того, плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей (если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны), плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы доказали, что искомая плоскость существует.

Доказательство единственности

Теперь докажем, что такая плоскость может быть только одна. Предположим, что существует другая плоскость $\gamma$, отличная от $\beta$ ($\gamma \neq \beta$), которая тоже проходит через прямую $a$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Так как плоскость $\gamma$ проходит через прямую $a$, то она содержит и точку $M$, которую мы выбрали на прямой $a$.

Поскольку плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то перпендикуляр, проведённый из любой точки плоскости $\gamma$ к плоскости $\alpha$, должен полностью лежать в плоскости $\gamma$. В частности, перпендикуляр, проведённый из точки $M$ к плоскости $\alpha$, должен лежать в $\gamma$.

Однако из точки $M$ можно провести только один перпендикуляр к плоскости $\alpha$ — это построенная нами ранее прямая $b$. Следовательно, прямая $b$ должна лежать в плоскости $\gamma$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что плоскость $\gamma$ проходит через те же две пересекающиеся прямые $a$ и $b$, что и плоскость $\beta$. Но через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость. Это означает, что плоскости $\gamma$ и $\beta$ должны совпадать.

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $\gamma$ — это другая, отличная от $\beta$, плоскость. Следовательно, наше предположение было неверным, и искомая плоскость единственна.

Ответ: Утверждение доказано.