Номер 203, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

203. В треугольной пирамиде $QABC$ отрезки $QK$, $QL$ и $QM$ являются биссектрисами углов $BQC$, $AQC$ и $AQB$ соответственно (рис. 81).

Докажите, что плоскости $AQK$, $BQL$ и $CQM$ имеют общую прямую.

Рис. 81

Для доказательства того, что три плоскости AQK, BQL и CQM имеют общую прямую, достаточно найти две общие точки, принадлежащие всем трем плоскостям. Эти две точки и будут определять их общую прямую пересечения.

1. Очевидно, что вершина пирамиды, точка Q, принадлежит каждой из трех плоскостей по их определению: плоскость AQK проходит через точки A, Q, K; плоскость BQL — через B, Q, L; плоскость CQM — через C, Q, M. Таким образом, Q — первая общая точка для трех плоскостей.

2. Теперь найдем вторую общую точку. Рассмотрим боковые грани пирамиды. По условию, QK, QL и QM являются биссектрисами углов BQC, AQC и AQB соответственно. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Запишем соответствующие отношения для каждой грани:

• В $ \triangle BQC $: $ \frac{BK}{KC} = \frac{QB}{QC} $
• В $ \triangle AQC $: $ \frac{CL}{LA} = \frac{QC}{QA} $
• В $ \triangle AQB $: $ \frac{AM}{MB} = \frac{QA}{QB} $

Рассмотрим основание пирамиды — треугольник ABC. Отрезки AK, BL и CM являются чевианами этого треугольника (отрезки, соединяющие вершину с точкой на противоположной стороне).

Применим обратную теорему Чевы, которая гласит, что если для точек K, L, M, лежащих на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, выполняется равенство $ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CL}{LA} = 1 $, то чевианы AK, BL, CM пересекаются в одной точке.

Проверим это условие, подставив в него полученные ранее отношения:

$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CL}{LA} = \frac{QA}{QB} \cdot \frac{QB}{QC} \cdot \frac{QC}{QA} = 1 $

Равенство выполняется, следовательно, отрезки AK, BL и CM пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку P.

Теперь покажем, что точка P принадлежит всем трем плоскостям:

• Точка P лежит на отрезке AK. Отрезок AK целиком лежит в плоскости AQK, так как обе его точки, A и K, принадлежат этой плоскости. Значит, P $ \in $ (AQK).
• Точка P лежит на отрезке BL. Отрезок BL целиком лежит в плоскости BQL. Значит, P $ \in $ (BQL).
• Точка P лежит на отрезке CM. Отрезок CM целиком лежит в плоскости CQM. Значит, P $ \in $ (CQM).

Таким образом, точка P является второй общей точкой для всех трех плоскостей.

Поскольку плоскости AQK, BQL и CQM имеют две общие точки (Q и P), они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки, то есть по прямой QP.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскости AQK, BQL и CQM имеют общую прямую QP, где Q — вершина пирамиды, а P — точка пересечения отрезков AK, BL и CM в плоскости основания.