Номер 209, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

209. В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с углом $BAC$, равным $120^\circ$. Грани $SAB$ и $SAC$ образуют прямые двугранные углы с плоскостью основания (рис. 83). Найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$, учитывая, что $BC = a$ и $SB = b$.

Рис. 83

Поскольку грани $SAB$ и $SAC$ образуют прямые двугранные углы с плоскостью основания $ABC$, это означает, что плоскости $(SAB)$ и $(SAC)$ перпендикулярны плоскости $(ABC)$. Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости, также перпендикулярна этой третьей плоскости. Линией пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(SAC)$ является ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

Таким образом, длина ребра $SA$ является искомым расстоянием от точки $S$ до плоскости $ABC$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $h = SA$.

Так как $SA \perp (ABC)$, то $SA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. В частности, $SA \perp AB$. Это означает, что треугольник $\Delta SAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\Delta SAB$:
$SB^2 = SA^2 + AB^2$.
Подставив известные значения, получаем:
$b^2 = h^2 + AB^2$.

Чтобы найти $h$, нам необходимо сначала найти длину стороны $AB$. Рассмотрим треугольник $\Delta ABC$ в основании. По условию, это равнобедренный треугольник с $\angle BAC = 120^\circ$. Следовательно, боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$, то есть $AB = AC$.

Применим теорему косинусов для треугольника $\Delta ABC$, чтобы связать стороны $BC$ и $AB$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$.
Подставим известные значения ($BC=a$, $AC=AB$, $\angle BAC = 120^\circ$):
$a^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \cdot AB \cdot AB \cdot \cos(120^\circ)$.
$a^2 = 2AB^2 - 2AB^2 \cdot (-\frac{1}{2})$.
$a^2 = 2AB^2 + AB^2$.
$a^2 = 3AB^2$.
Отсюда находим квадрат длины стороны $AB$:
$AB^2 = \frac{a^2}{3}$.

Теперь вернемся к уравнению из теоремы Пифагора для $\Delta SAB$ и подставим в него найденное значение $AB^2$:
$b^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}$.
Выразим отсюда $h^2$:
$h^2 = b^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{3b^2 - a^2}{3}$.
Тогда искомое расстояние $h$ равно:
$h = \sqrt{\frac{3b^2 - a^2}{3}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{3b^2 - a^2}{3}}$.