Номер 213, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

213. В одной грани двугранного угла проведена прямая под углом $30^\circ$ к другой грани и под углом $45^\circ$ к ребру двугранного угла. Найдите величину этого двугранного угла.

Пусть двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $c$. Обозначим величину этого двугранного угла через $\phi$.

В плоскости $\alpha$ проведена прямая $l$. Пусть эта прямая пересекает ребро $c$ в точке $P$. Выберем на прямой $l$ произвольную точку $A$, не лежащую на ребре $c$. Для удобства расчетов положим, что длина отрезка $PA$ равна $a$.

Согласно условию задачи, угол между прямой $l$ (представленной отрезком $PA$) и ребром $c$ составляет $45^\circ$. Угол между прямой $l$ и плоскостью $\beta$ равен $30^\circ$.

Для решения задачи выполним следующие построения:

1. Из точки $A$ опустим перпендикуляр $AB$ на плоскость $\beta$. Точка $B$ является проекцией точки $A$ на эту плоскость. Отрезок $PB$ — это проекция наклонной $PA$ на плоскость $\beta$. Угол между наклонной и ее проекцией по определению является углом между прямой и плоскостью. Таким образом, $\angle APB = 30^\circ$. Треугольник $\triangle APB$ является прямоугольным, поскольку $AB \perp \beta$, а значит $AB$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $PB$ ($\angle ABP = 90^\circ$).
Из прямоугольного треугольника $\triangle APB$ найдем длину катета $AB$:
$AB = PA \cdot \sin(\angle APB) = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

2. В плоскости $\alpha$ из точки $A$ опустим перпендикуляр $AC$ на ребро $c$. Точка $C$ лежит на ребре $c$. Треугольник $\triangle APC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как $AC \perp c$, то $\triangle APC$ — прямоугольный ($\angle ACP = 90^\circ$). Угол между прямой $l$ и ребром $c$ по условию равен $45^\circ$, то есть $\angle APC = 45^\circ$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle APC$ найдем длину катета $AC$:
$AC = PA \cdot \sin(\angle APC) = a \cdot \sin(45^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Теперь нам нужно найти линейный угол двугранного угла. Мы уже имеем отрезок $AC$ в плоскости $\alpha$, перпендикулярный ребру $c$. Нам нужен аналогичный перпендикуляр к ребру $c$ в точке $C$, лежащий в плоскости $\beta$.
Рассмотрим перпендикуляр $AB$ к плоскости $\beta$ и наклонную $AC$. Отрезок $BC$ является проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\beta$. По построению, наклонная $AC$ перпендикулярна прямой $c$, которая лежит в плоскости $\beta$. Согласно теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и ее проекция на эту плоскость также перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $BC \perp c$.

4. Поскольку $AC \perp c$ и $BC \perp c$, угол $\angle ACB$ является линейным углом данного двугранного угла. Таким образом, $\phi = \angle ACB$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, а отрезок $BC$ лежит в этой плоскости, то $AB \perp BC$. Это означает, что $\triangle ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ мы знаем длину катета $AB$ и гипотенузы $AC$. Мы можем найти синус угла $\phi = \angle ACB$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\phi) = \frac{AB}{AC}$
Подставляем найденные ранее выражения для $AB$ и $AC$:
$\sin(\phi) = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Из этого соотношения находим величину угла $\phi$ (учитывая, что двугранный угол в геометрических задачах обычно острый или прямой):
$\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.