Номер 219, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

219. При вершине треугольной пирамиды $HKLM$ все плоские углы равны $60^\circ$. Найдите расстояние от вершины $M$ до плоскости $HKL$, учитывая, что $HM = m$.

Пусть искомое расстояние от вершины M до плоскости HKL равно $h$. Это расстояние является высотой пирамиды, опущенной из вершины M на основание HKL.

В условии сказано, что все плоские углы при вершине M равны $60^\circ$. Это означает, что $\angle HMK = \angle KML = \angle LMH = 60^\circ$.
Также дано, что длина ребра $HM = m$. Учитывая симметрию плоских углов при вершине M, можно сделать вывод, что боковые ребра пирамиды равны между собой: $HM = KM = LM = m$. В противном случае, имея только одну длину ребра, задача не имела бы однозначного решения.

Рассмотрим боковые грани пирамиды, которые являются треугольниками с общей вершиной M:

• Треугольник HMK: у него две стороны $HM$ и $KM$ равны $m$, а угол между ними $\angle HMK = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Следовательно, $\triangle HMK$ — равносторонний, и все его стороны равны $m$, то есть $HK = m$.
• Треугольник KML: аналогично, $KM = LM = m$ и $\angle KML = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle KML$ — равносторонний, и $KL = m$.
• Треугольник LMH: аналогично, $LM = HM = m$ и $\angle LMH = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle LMH$ — равносторонний, и $LH = m$.

Таким образом, все боковые ребра пирамиды равны $m$, и все стороны основания ($HK$, $KL$, $LH$) также равны $m$. Это означает, что основание $\triangle HKL$ — равносторонний треугольник со стороной $m$.

Пирамида, у которой все ребра равны, называется правильным тетраэдром. В нашем случае пирамида HKLM является правильным тетраэдром с длиной ребра $m$.

Чтобы найти высоту $h$ тетраэдра, опустим перпендикуляр $MO$ из вершины M на плоскость основания HKL. Точка O будет являться центром равностороннего треугольника HKL (центром описанной и вписанной окружностей, а также точкой пересечения медиан, высот и биссектрис).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOH$.

• Гипотенуза $MH$ — это ребро тетраэдра, $MH = m$.
• Катет $MO$ — это высота тетраэдра $h$, которую мы ищем.
• Катет $HO$ — это расстояние от вершины основания H до его центра O, что равно радиусу $R$ описанной около $\triangle HKL$ окружности.

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Для нашего треугольника HKL со стороной $m$:$R = HO = \frac{m}{\sqrt{3}}$

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle MOH$:$MH^2 = MO^2 + HO^2$$m^2 = h^2 + R^2$Подставим найденное значение $R$:$m^2 = h^2 + \left(\frac{m}{\sqrt{3}}\right)^2$$m^2 = h^2 + \frac{m^2}{3}$Выразим $h^2$:$h^2 = m^2 - \frac{m^2}{3} = \frac{2m^2}{3}$Отсюда находим высоту $h$:$h = \sqrt{\frac{2m^2}{3}} = m\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{m\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем:$h = \frac{m\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{m\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $m\sqrt{\frac{2}{3}}$ или $\frac{m\sqrt{6}}{3}$.