Номер 221, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

221. Найдите плоские углы при вершине $S$ треугольной пирамиды $SABC$, учитывая, что двугранные углы $BSAC$, $ASBC$ и $ASCB$ соответственно равны $60^\circ$, $90^\circ$ и $120^\circ$.

Для нахождения плоских углов при вершине S воспользуемся соотношениями для трехгранного угла, а именно второй теоремой косинусов для трехгранного угла, которая является аналогом теоремы косинусов для сферического треугольника.

Обозначим искомые плоские углы:

• $\alpha = \angle BSC$
• $\beta = \angle ASC$
• $\gamma = \angle ASB$

Двугранные углы при ребрах SA, SB, SC — это углы, противолежащие соответствующим плоским углам в сферическом представлении. Согласно условию:

• Двугранный угол при ребре SA (обозначим $A$) равен $60^\circ$. Он противолежит плоскому углу $\alpha = \angle BSC$.
• Двугранный угол при ребре SB (обозначим $B$) равен $90^\circ$. Он противолежит плоскому углу $\beta = \angle ASC$.
• Двугранный угол при ребре SC (обозначим $C$) равен $120^\circ$. Он противолежит плоскому углу $\gamma = \angle ASB$.

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла связывает косинус плоского угла с косинусами и синусами двугранных углов:
$\cos(A) = -\cos(B)\cos(C) + \sin(B)\sin(C)\cos(\alpha)$
$\cos(B) = -\cos(A)\cos(C) + \sin(A)\sin(C)\cos(\beta)$
$\cos(C) = -\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)\cos(\gamma)$

Выразим из этих формул косинусы искомых плоских углов:
$\cos(\alpha) = \frac{\cos(A) + \cos(B)\cos(C)}{\sin(B)\sin(C)}$
$\cos(\beta) = \frac{\cos(B) + \cos(A)\cos(C)}{\sin(A)\sin(C)}$
$\cos(\gamma) = \frac{\cos(C) + \cos(A)\cos(B)}{\sin(A)\sin(B)}$

Подставим значения известных двугранных углов:
$A = 60^\circ \implies \cos(A) = \frac{1}{2}, \sin(A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$B = 90^\circ \implies \cos(B) = 0, \sin(B) = 1$
$C = 120^\circ \implies \cos(C) = -\frac{1}{2}, \sin(C) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Нахождение угла ∠BSC ($\alpha$)

$\cos(\alpha) = \frac{\cos(60^\circ) + \cos(90^\circ)\cos(120^\circ)}{\sin(90^\circ)\sin(120^\circ)} = \frac{\frac{1}{2} + 0 \cdot (-\frac{1}{2})}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Следовательно, $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\angle BSC = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Нахождение угла ∠ASC ($\beta$)

$\cos(\beta) = \frac{\cos(90^\circ) + \cos(60^\circ)\cos(120^\circ)}{\sin(60^\circ)\sin(120^\circ)} = \frac{0 + \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{1}{3}$
Следовательно, $\beta = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\angle ASC = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$

Нахождение угла ∠ASB ($\gamma$)

$\cos(\gamma) = \frac{\cos(120^\circ) + \cos(60^\circ)\cos(90^\circ)}{\sin(60^\circ)\sin(90^\circ)} = \frac{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Следовательно, $\gamma = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\angle ASB = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$