Номер 225, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

225. В правильной шестиугольной призме основания симметричны относительно плоскости $YOZ$, одно из боковых ребер совпадает с осью $OX$, центр одного основания имеет координаты $(3; 0; 2)$. Запишите координаты вершин призмы.

Поскольку призма правильная, ее основаниями являются правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Из условия, что одно из боковых ребер совпадает с осью OX, следует, что все боковые ребра параллельны оси OX. Это значит, что основания призмы лежат в плоскостях, перпендикулярных оси OX, то есть в плоскостях вида $x = \text{const}$.

Центр одного из оснований, назовем его $O_1$, имеет координаты $(3; 0; 2)$. Следовательно, это основание лежит в плоскости $x=3$.

Так как основания симметричны относительно плоскости YOZ (уравнение которой $x=0$), второе основание должно лежать в плоскости $x=-3$. Его центр $O_2$ будет симметричен $O_1$ и будет иметь координаты $O_2(-3; 0; 2)$.

Боковое ребро, лежащее на оси OX, соединяет вершины $A_1$ и $A_2$ на этих основаниях. Так как вершина $A_1$ лежит в плоскости $x=3$ и на оси OX (где $y=0, z=0$), ее координаты $A_1(3; 0; 0)$. Аналогично, координаты вершины $A_2$ на втором основании равны $A_2(-3; 0; 0)$.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине его стороны. Найдем сторону основания $a$, вычислив расстояние между центром $O_1(3; 0; 2)$ и вершиной $A_1(3; 0; 0)$.

$a = |O_1A_1| = \sqrt{(3-3)^2 + (0-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = 2$.

Итак, сторона шестиугольного основания равна 2. Теперь найдем координаты остальных вершин. Вектор, соединяющий центр первого основания $O_1$ с вершиной $A_1$, равен $\vec{O_1A_1} = (0; 0; -2)$. Остальные вершины основания можно получить, поворачивая этот вектор в плоскости $x=3$ (параллельной плоскости YOZ) вокруг точки $O_1$ на углы, кратные $60^\circ$.

Координаты вершин первого основания (в плоскости $x=3$):

• $A_1(3; 0; 0)$
• $B_1(3; \sqrt{3}; 1)$
• $C_1(3; \sqrt{3}; 3)$
• $D_1(3; 0; 4)$
• $E_1(3; -\sqrt{3}; 3)$
• $F_1(3; -\sqrt{3}; 1)$

Вершины второго основания (в плоскости $x=-3$) симметричны вершинам первого относительно плоскости YOZ. Их координаты получаются изменением знака координаты $x$:

• $A_2(-3; 0; 0)$
• $B_2(-3; \sqrt{3}; 1)$
• $C_2(-3; \sqrt{3}; 3)$
• $D_2(-3; 0; 4)$
• $E_2(-3; -\sqrt{3}; 3)$
• $F_2(-3; -\sqrt{3}; 1)$

Ответ: Координаты вершин призмы:
Вершины одного основания: $(3; 0; 0)$, $(3; \sqrt{3}; 1)$, $(3; \sqrt{3}; 3)$, $(3; 0; 4)$, $(3; -\sqrt{3}; 3)$, $(3; -\sqrt{3}; 1)$.
Вершины другого основания: $(-3; 0; 0)$, $(-3; \sqrt{3}; 1)$, $(-3; \sqrt{3}; 3)$, $(-3; 0; 4)$, $(-3; -\sqrt{3}; 3)$, $(-3; -\sqrt{3}; 1)$.