Номер 232, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

232. Найдите длины сторон и диагоналей параллелограмма $ABCD$, учитывая, что $A(2; 1; 5)$, $B(-2; 4; 5)$, $D(1; 3; 7)$.

Длины сторон

Для нахождения длин сторон параллелограмма воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

Найдем длины смежных сторон AB и AD.

Длина стороны AB между точками A(2; 1; 5) и B(-2; 4; 5):
$|AB| = \sqrt{(-2-2)^2 + (4-1)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

Длина стороны AD между точками A(2; 1; 5) и D(1; 3; 7):
$|AD| = \sqrt{(1-2)^2 + (3-1)^2 + (7-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны, то длины его сторон равны 5 и 3.

Ответ: длины сторон параллелограмма равны 3 и 5.

Длины диагоналей

Диагоналями параллелограмма являются отрезки AC и BD. Для нахождения длины диагонали AC необходимо сначала найти координаты вершины C.

В параллелограмме ABCD выполняется векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Найдем координаты вектора $\vec{AD}$: $\vec{AD} = (1-2; 3-1; 7-5) = (-1; 2; 2)$.
Пусть C имеет координаты $(x_C; y_C; z_C)$. Тогда вектор $\vec{BC} = (x_C - (-2); y_C - 4; z_C - 5) = (x_C+2; y_C-4; z_C-5)$.
Приравняв координаты векторов, получаем:

$x_C+2 = -1 \implies x_C = -3$
$y_C-4 = 2 \implies y_C = 6$
$z_C-5 = 2 \implies z_C = 7$

Таким образом, координаты вершины C(-3; 6; 7).

Теперь можем вычислить длины диагоналей.

Длина диагонали AC между точками A(2; 1; 5) и C(-3; 6; 7):
$|AC| = \sqrt{(-3-2)^2 + (6-1)^2 + (7-5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 25 + 4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.

Длина диагонали BD между точками B(-2; 4; 5) и D(1; 3; 7):
$|BD| = \sqrt{(1-(-2))^2 + (3-4)^2 + (7-5)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$.

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны $\sqrt{14}$ и $3\sqrt{6}$.