Номер 237, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

237*. Определите, является ли квадратом четырехугольник MNPQ, учитывая, что $M(-1; 3; 2)$, $N(6; 2; 2)$, $P(5; -5; 2)$, $Q(-2; -4; 2)$.

Для того чтобы определить, является ли четырехугольник MNPQ с заданными вершинами M(-1; 3; 2), N(6; 2; 2), P(5; -5; 2) и Q(-2; -4; 2) квадратом, необходимо проверить выполнение двух основных свойств квадрата:

1. Все его стороны должны быть равны между собой.
2. Его диагонали должны быть равны между собой.

Вычислим длины сторон и диагоналей, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

1. Вычисление длин сторон:

• Длина стороны MN:

  $|MN| = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (2 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1 + 0} = \sqrt{50}$

• Длина стороны NP:

  $|NP| = \sqrt{(5 - 6)^2 + (-5 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 49 + 0} = \sqrt{50}$

• Длина стороны PQ:

  $|PQ| = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (-4 - (-5))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1 + 0} = \sqrt{50}$

• Длина стороны QM:

  $|QM| = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (3 - (-4))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 7^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 49 + 0} = \sqrt{50}$

Все стороны четырехугольника равны: $|MN| = |NP| = |PQ| = |QM| = \sqrt{50}$. Следовательно, четырехугольник MNPQ является ромбом.

2. Вычисление длин диагоналей:

Чтобы определить, является ли этот ромб квадратом, необходимо сравнить длины его диагоналей MP и NQ.

• Длина диагонали MP:

  $|MP| = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-5 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64 + 0} = \sqrt{100} = 10$

• Длина диагонали NQ:

  $|NQ| = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (-4 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 36 + 0} = \sqrt{100} = 10$

Длины диагоналей равны: $|MP| = |NQ| = 10$.

Поскольку все стороны четырехугольника MNPQ равны между собой и его диагонали также равны, мы можем заключить, что данный четырехугольник является квадратом.

Ответ: Да, четырехугольник MNPQ является квадратом.