Номер 243, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

243. Отметьте в тетради точки M, N, P, Q, R, S, A, B, C, D, E, F так, чтобы выполнялось равенство:

a) $ \overrightarrow{PQ} = 2,5 \cdot \overrightarrow{MN}; $

б) $ \overrightarrow{AB} = -1,5 \cdot \overrightarrow{RS}; $

в) $ \overrightarrow{EF} = -0,4 \cdot \overrightarrow{CD}. $

Для решения этой задачи необходимо использовать определение произведения вектора на число. Если вектор $\vec{b}$ равен произведению вектора $\vec{a}$ на число $k$, то есть $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, то выполняются следующие условия:

• Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Длина вектора $\vec{b}$ равна длине вектора $\vec{a}$, умноженной на модуль числа $k$: $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Если $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну сторону).
• Если $k < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (направлены в противоположные стороны).

Исходя из этих правил, выполним построение для каждого случая.

Дано равенство $\vec{PQ} = 2,5 \cdot \vec{MN}$.
Здесь коэффициент $k = 2,5$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{MN}$ сонаправлены. Их длины связаны соотношением $|\vec{PQ}| = 2,5 \cdot |\vec{MN}|$.

Порядок построения:

1. Отметьте на плоскости две произвольные точки $M$ и $N$.
2. Постройте вектор $\vec{MN}$, соединив точку $M$ с точкой $N$. Для удобства выберите длину отрезка $MN$, которую легко умножить на 2,5, например, 2 см или 4 клетки тетради.
3. Проведите прямую, параллельную прямой $MN$ (или можно использовать ту же прямую $MN$).
4. Отметьте на этой прямой произвольную точку $P$.
5. От точки $P$ в том же направлении, что и у вектора $\vec{MN}$, отложите отрезок $PQ$, длина которого в 2,5 раза больше длины отрезка $MN$. Например, если длина $MN$ была 4 клетки, то длина $PQ$ будет $2,5 \cdot 4 = 10$ клеток.
6. Отметьте точку $Q$ в конце отрезка и нарисуйте стрелку, указывающую от $P$ к $Q$.

Ответ: Векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{MN}$ должны быть сонаправлены (параллельны и направлены в одну сторону), а длина вектора $\vec{PQ}$ должна быть в 2,5 раза больше длины вектора $\vec{MN}$.

Дано равенство $\vec{AB} = -1,5 \cdot \vec{RS}$.
Здесь коэффициент $k = -1,5$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{RS}$ противоположно направлены. Их длины связаны соотношением $|\vec{AB}| = |-1,5| \cdot |\vec{RS}| = 1,5 \cdot |\vec{RS}|$.

Порядок построения:

1. Отметьте на плоскости две произвольные точки $R$ и $S$.
2. Постройте вектор $\vec{RS}$. Для удобства выберите длину отрезка $RS$, которую легко умножить на 1,5, например, 2 см или 4 клетки.
3. Проведите прямую, параллельную прямой $RS$.
4. Отметьте на этой прямой произвольную точку $A$.
5. От точки $A$ в направлении, противоположном направлению вектора $\vec{RS}$, отложите отрезок $AB$, длина которого в 1,5 раза больше длины отрезка $RS$. Например, если длина $RS$ была 4 клетки, то длина $AB$ будет $1,5 \cdot 4 = 6$ клеток.
6. Отметьте точку $B$ в конце отрезка и нарисуйте стрелку от $A$ к $B$.

Ответ: Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{RS}$ должны быть противоположно направлены (параллельны, но направлены в разные стороны), а длина вектора $\vec{AB}$ должна быть в 1,5 раза больше длины вектора $\vec{RS}$.

Дано равенство $\vec{EF} = -0,4 \cdot \vec{CD}$.
Здесь коэффициент $k = -0,4$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{EF}$ и $\vec{CD}$ противоположно направлены. Их длины связаны соотношением $|\vec{EF}| = |-0,4| \cdot |\vec{CD}| = 0,4 \cdot |\vec{CD}|$.

Порядок построения:

1. Отметьте на плоскости две произвольные точки $C$ и $D$.
2. Постройте вектор $\vec{CD}$. Для удобства выберите длину отрезка $CD$, которую легко умножить на 0,4, например, 5 см или 10 клеток.
3. Проведите прямую, параллельную прямой $CD$.
4. Отметьте на этой прямой произвольную точку $E$.
5. От точки $E$ в направлении, противоположном направлению вектора $\vec{CD}$, отложите отрезок $EF$, длина которого составляет 0,4 от длины отрезка $CD$. Например, если длина $CD$ была 10 клеток, то длина $EF$ будет $0,4 \cdot 10 = 4$ клетки.
6. Отметьте точку $F$ в конце отрезка и нарисуйте стрелку от $E$ к $F$.

Ответ: Векторы $\vec{EF}$ и $\vec{CD}$ должны быть противоположно направлены, а длина вектора $\vec{EF}$ должна составлять 0,4 (или $\frac{2}{5}$) от длины вектора $\vec{CD}$.