Номер 244, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

244. Отметьте в тетради точки P, Q, R так, чтобы выполнялось равенство:

а) $\vec{PQ} = 1,5 \cdot \vec{PR};$

б) $\vec{PQ} = -2,5 \cdot \vec{PR};$

в) $\vec{PQ} = -0,2 \cdot \vec{PR}.$

Выразите вектор $\vec{QR}$ через вектор $\vec{RP}$.

а) Дано равенство $\vec{PQ} = 1.5 \cdot \vec{PR}$.

Расположение точек:
Из равенства следует, что векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{PR}$ коллинеарны и сонаправлены, так как коэффициент $1,5$ — положительное число. Это означает, что все три точки $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой. Поскольку оба вектора начинаются в точке $P$, а длина вектора $\vec{PQ}$ в $1,5$ раза больше длины вектора $\vec{PR}$, точка $R$ будет лежать между точками $P$ и $Q$. Чтобы отметить точки, нужно сначала выбрать точки $P$ и $R$, а затем на луче $PR$ отложить от точки $P$ отрезок $PQ$, равный $1,5 \cdot PR$. Порядок точек на прямой будет: $P$, $R$, $Q$.

Выражение вектора $\vec{QR}$ через вектор $\vec{RP}$:
Воспользуемся правилом вычитания векторов: $\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ}$.
Подставим в это равенство данное в условии соотношение $\vec{PQ} = 1.5 \cdot \vec{PR}$:
$\vec{QR} = \vec{PR} - 1.5 \cdot \vec{PR} = (1 - 1.5) \cdot \vec{PR} = -0.5 \cdot \vec{PR}$
Так как векторы $\vec{PR}$ и $\vec{RP}$ противоположны, то $\vec{PR} = -\vec{RP}$.
Подставим это в полученное выражение:
$\vec{QR} = -0.5 \cdot (-\vec{RP}) = 0.5 \cdot \vec{RP}$

Ответ: $\vec{QR} = 0.5 \cdot \vec{RP}$.

б) Дано равенство $\vec{PQ} = -2.5 \cdot \vec{PR}$.

Расположение точек:
Из равенства следует, что векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{PR}$ коллинеарны, но противоположно направлены, так как коэффициент $-2,5$ — отрицательное число. Это означает, что все три точки $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой. Поскольку оба вектора начинаются в точке $P$, но направлены в разные стороны, точка $P$ будет лежать между точками $Q$ и $R$. Длина вектора $\vec{PQ}$ в $2,5$ раза больше длины вектора $\vec{PR}$. Порядок точек на прямой будет: $Q$, $P$, $R$.

Выражение вектора $\vec{QR}$ через вектор $\vec{RP}$:
Воспользуемся правилом вычитания векторов: $\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ}$.
Подставим в это равенство данное в условии соотношение $\vec{PQ} = -2.5 \cdot \vec{PR}$:
$\vec{QR} = \vec{PR} - (-2.5 \cdot \vec{PR}) = \vec{PR} + 2.5 \cdot \vec{PR} = (1 + 2.5) \cdot \vec{PR} = 3.5 \cdot \vec{PR}$
Так как $\vec{PR} = -\vec{RP}$, получим:
$\vec{QR} = 3.5 \cdot (-\vec{RP}) = -3.5 \cdot \vec{RP}$

Ответ: $\vec{QR} = -3.5 \cdot \vec{RP}$.

в) Дано равенство $\vec{PQ} = -0.2 \cdot \vec{PR}$.

Расположение точек:
Из равенства следует, что векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{PR}$ коллинеарны и противоположно направлены, так как коэффициент $-0,2$ — отрицательное число. Это означает, что все три точки $P$, $Q$, $R$ лежат на одной прямой. Точка $P$ будет лежать между точками $Q$ и $R$. Длина вектора $\vec{PQ}$ составляет $0,2$ от длины вектора $\vec{PR}$. Порядок точек на прямой будет: $Q$, $P$, $R$.

Выражение вектора $\vec{QR}$ через вектор $\vec{RP}$:
Воспользуемся правилом вычитания векторов: $\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ}$.
Подставим в это равенство данное в условии соотношение $\vec{PQ} = -0.2 \cdot \vec{PR}$:
$\vec{QR} = \vec{PR} - (-0.2 \cdot \vec{PR}) = \vec{PR} + 0.2 \cdot \vec{PR} = (1 + 0.2) \cdot \vec{PR} = 1.2 \cdot \vec{PR}$
Так как $\vec{PR} = -\vec{RP}$, получим:
$\vec{QR} = 1.2 \cdot (-\vec{RP}) = -1.2 \cdot \vec{RP}$

Ответ: $\vec{QR} = -1.2 \cdot \vec{RP}$.