Номер 238, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

238. Вершины треугольной пирамиды ABCD имеют координаты $A(5; 0; 7)$, $B(5; 5; 4)$, $C(-7; 5; 4)$ и $D(-7; 0; 4)$. Найдите:

а) длины ребер пирамиды;

б) площадь полной поверхности пирамиды.

а) длины ребер пирамиды;

Для нахождения длин ребер пирамиды воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве $M_1(x_1; y_1; z_1)$ и $M_2(x_2; y_2; z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Вычислим длины всех шести ребер пирамиды с заданными вершинами A(5; 0; 7), B(5; 5; 4), C(-7; 5; 4) и D(-7; 0; 4).

1. Длина ребра AB:$AB = \sqrt{(5-5)^2 + (5-0)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34}$.

2. Длина ребра AC:$AC = \sqrt{(-7-5)^2 + (5-0)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 25 + 9} = \sqrt{178}$.

3. Длина ребра AD:$AD = \sqrt{(-7-5)^2 + (0-0)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 0 + 9} = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$.

4. Длина ребра BC:$BC = \sqrt{(-7-5)^2 + (5-5)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12$.

5. Длина ребра BD:$BD = \sqrt{(-7-5)^2 + (0-5)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

6. Длина ребра CD:$CD = \sqrt{(-7-(-7))^2 + (0-5)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $AB = \sqrt{34}$, $AC = \sqrt{178}$, $AD = 3\sqrt{17}$, $BC = 12$, $BD = 13$, $CD = 5$.

б) площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей ее четырех граней: $S_{полн} = S_{ABC} + S_{ACD} + S_{ABD} + S_{BCD}$.

Найдем площадь каждой грани. Для этого сначала проверим, не являются ли грани прямоугольными треугольниками, используя обратную теорему Пифагора.

1. Грань BCD со сторонами $BC = 12$, $CD = 5$, $BD = 13$. Проверим: $BC^2 + CD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.$BD^2 = 13^2 = 169$. Так как $BC^2 + CD^2 = BD^2$, то треугольник BCD является прямоугольным с прямым углом при вершине C. Его площадь: $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$.

2. Грань ABC со сторонами $AB = \sqrt{34}$, $BC = 12$, $AC = \sqrt{178}$. Проверим: $AB^2 + BC^2 = (\sqrt{34})^2 + 12^2 = 34 + 144 = 178$.$AC^2 = (\sqrt{178})^2 = 178$. Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, то треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B. Его площадь: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{34} \cdot 12 = 6\sqrt{34}$.

3. Грань ACD со сторонами $AD = 3\sqrt{17}$, $CD = 5$, $AC = \sqrt{178}$. Проверим: $AD^2 + CD^2 = (3\sqrt{17})^2 + 5^2 = 9 \cdot 17 + 25 = 153 + 25 = 178$.$AC^2 = (\sqrt{178})^2 = 178$. Так как $AD^2 + CD^2 = AC^2$, то треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом при вершине D. Его площадь: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{17} \cdot 5 = \frac{15\sqrt{17}}{2}$.

4. Грань ABD со сторонами $AB = \sqrt{34}$, $AD = 3\sqrt{17}$, $BD = 13$. Этот треугольник не является прямоугольным. Для нахождения его площади найдем векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Найдем координаты векторов:$\vec{AB} = \{5-5; 5-0; 4-7\} = \{0; 5; -3\}$.$\vec{AD} = \{-7-5; 0-0; 4-7\} = \{-12; 0; -3\}$. Векторное произведение:$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 5 & -3 \\ -12 & 0 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5(-3) - (-3)0) - \mathbf{j}(0(-3) - (-3)(-12)) + \mathbf{k}(0(0) - 5(-12)) = -15\mathbf{i} + 36\mathbf{j} + 60\mathbf{k} = \{-15; 36; 60\}$. Модуль векторного произведения: $|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{(-15)^2 + 36^2 + 60^2} = \sqrt{225 + 1296 + 3600} = \sqrt{5121} = \sqrt{9 \cdot 569} = 3\sqrt{569}$. Площадь треугольника ABD равна половине модуля векторного произведения: $S_{ABD} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \frac{3\sqrt{569}}{2}$.

Теперь найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади всех граней:$S_{полн} = S_{BCD} + S_{ABC} + S_{ACD} + S_{ABD} = 30 + 6\sqrt{34} + \frac{15\sqrt{17}}{2} + \frac{3\sqrt{569}}{2}$.

Ответ: $S_{полн} = 30 + 6\sqrt{34} + \frac{15\sqrt{17}}{2} + \frac{3\sqrt{569}}{2}$.