Номер 234, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

234*. Определите, является ли параллелограммом четырехугольник ABCD, учитывая, что $A(2; 1; -5)$, $B(-4; 2; 0)$, $C(-5; -3; -7)$, $D(1; 3; 2)$.

Для того чтобы определить, является ли четырехугольник $ABCD$ параллелограммом, можно проверить выполнение одного из его свойств. В координатах удобно проверить, равны ли векторы, представляющие противоположные стороны. Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом тогда и только тогда, когда вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$.

Координаты вершин четырехугольника:

$A(2; 1; -5)$

$B(-4; 2; 0)$

$C(-5; -3; -7)$

$D(1; -3; 2)$

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ по формуле $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$:

$\vec{AB} = (-4 - 2; 2 - 1; 0 - (-5)) = (-6; 1; 5)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$ по формуле $\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D)$:

$\vec{DC} = (-5 - 1; -3 - (-3); -7 - 2) = (-6; 0; -9)$

Сравним полученные координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (-6; 1; 5)$

$\vec{DC} = (-6; 0; -9)$

Два вектора равны только в том случае, если равны их соответствующие координаты. В данном случае равны только первые координаты (абсциссы): $-6 = -6$. Вторые координаты (ординаты) не равны: $1 \neq 0$. Третьи координаты (аппликаты) также не равны: $5 \neq -9$.

Поскольку $\vec{AB} \neq \vec{DC}$, то стороны $AB$ и $DC$ не параллельны и не равны. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ не является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ не является параллелограммом.