Номер 227, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

227. Найдите координаты вершин треугольника $ABC$, учитывая, что середины $K$, $L$, $M$ его сторон $AB$, $BC$, $CA$ имеют координаты $K(2; 1; 3)$, $L(-4; 5; -1)$, $M(6; 3; 7).

Пусть вершины треугольника $ABC$ имеют координаты $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$.

Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. По условию, точки $K(2; 1; 3)$, $L(-4; 5; -1)$ и $M(6; 3; 7)$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно.

На основании формулы для координат середины отрезка можно составить системы уравнений для каждой из координат.

Для координат $x$ получаем систему:
$x_A + x_B = 2 \cdot x_K = 2 \cdot 2 = 4$ (1)
$x_B + x_C = 2 \cdot x_L = 2 \cdot (-4) = -8$ (2)
$x_C + x_A = 2 \cdot x_M = 2 \cdot 6 = 12$ (3)
Сложив все три уравнения, получим: $2(x_A + x_B + x_C) = 4 - 8 + 12 = 8$, откуда $x_A + x_B + x_C = 4$.
Вычитая из полученного уравнения поочередно уравнения (1), (2) и (3), находим:
$x_C = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_B) = 4 - 4 = 0$
$x_A = (x_A + x_B + x_C) - (x_B + x_C) = 4 - (-8) = 12$
$x_B = (x_A + x_B + x_C) - (x_C + x_A) = 4 - 12 = -8$

Аналогично для координат $y$ получаем систему:
$y_A + y_B = 2 \cdot y_K = 2 \cdot 1 = 2$ (4)
$y_B + y_C = 2 \cdot y_L = 2 \cdot 5 = 10$ (5)
$y_C + y_A = 2 \cdot y_M = 2 \cdot 3 = 6$ (6)
Сложив уравнения, получим: $2(y_A + y_B + y_C) = 2 + 10 + 6 = 18$, откуда $y_A + y_B + y_C = 9$.
Находим координаты $y$:
$y_C = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_B) = 9 - 2 = 7$
$y_A = (y_A + y_B + y_C) - (y_B + y_C) = 9 - 10 = -1$
$y_B = (y_A + y_B + y_C) - (y_C + y_A) = 9 - 6 = 3$

И для координат $z$ получаем систему:
$z_A + z_B = 2 \cdot z_K = 2 \cdot 3 = 6$ (7)
$z_B + z_C = 2 \cdot z_L = 2 \cdot (-1) = -2$ (8)
$z_C + z_A = 2 \cdot z_M = 2 \cdot 7 = 14$ (9)
Сложив уравнения, получим: $2(z_A + z_B + z_C) = 6 - 2 + 14 = 18$, откуда $z_A + z_B + z_C = 9$.
Находим координаты $z$:
$z_C = (z_A + z_B + z_C) - (z_A + z_B) = 9 - 6 = 3$
$z_A = (z_A + z_B + z_C) - (z_B + z_C) = 9 - (-2) = 11$
$z_B = (z_A + z_B + z_C) - (z_C + z_A) = 9 - 14 = -5$

Собрав воедино найденные координаты, получаем искомые координаты вершин треугольника $ABC$:
$A(12; -1; 11)$
$B(-8; 3; -5)$
$C(0; 7; 3)$

Ответ: $A(12; -1; 11)$, $B(-8; 3; -5)$, $C(0; 7; 3)$.