Номер 220, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

220. В треугольной пирамиде SABC плоские углы BSC, CSA, ASB соответственно равны $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, двугранные углы BSAC, ASBC, ASCB равны соответственно $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$. Докажите, что верно равенство:

a) $\cos \hat{A} = -\cos \hat{B}\cos \hat{C} + \sin \hat{B} \sin \hat{C} \cos \alpha;$

б) $\frac{\sin \alpha}{\sin \hat{A}} = \frac{\sin \beta}{\sin \hat{B}} = \frac{\sin \gamma}{\sin \hat{C}}.$

Данные равенства являются основными теоремами сферической тригонометрии, примененными к трехгранному углу с вершиной в точке $S$. Рассмотрим единичную сферу с центром в вершине $S$. Ребра $SA, SB, SC$ пересекают сферу в точках $A', B', C'$, образуя сферический треугольник $A'B'C'$.

Параметры этого сферического треугольника напрямую связаны с параметрами трехгранного угла:

• Длины сторон сферического треугольника (в угловой мере) равны плоским углам при вершине $S$: $a = \angle BSC = \alpha$, $b = \angle CSA = \beta$, $c = \angle ASB = \gamma$.
• Углы сферического треугольника равны двугранным углам при ребрах $SA, SB, SC$: $\angle A' = \hat{A}$, $\angle B' = \hat{B}$, $\angle C' = \hat{C}$.

Таким образом, задача сводится к доказательству соответствующих теорем для сферического треугольника.

Докажем равенство $\cos \hat{A} = -\cos \hat{B} \cos \hat{C} + \sin \hat{B} \sin \hat{C} \cos \alpha$, которое известно как вторая сферическая теорема косинусов.

Для доказательства воспользуемся понятием полярного треугольника. Для сферического треугольника $A'B'C'$ существует полярный (или двойственный) треугольник $A''B''C''$, стороны и углы которого связаны с углами и сторонами исходного треугольника следующими соотношениями:

$a'' = \pi - \hat{A}$, $b'' = \pi - \hat{B}$, $c'' = \pi - \hat{C}$

$A'' = \pi - \alpha$, $B'' = \pi - \beta$, $C'' = \pi - \gamma$

Запишем для полярного треугольника $A''B''C''$ первую сферическую теорему косинусов, которая связывает три его стороны и один угол (например, угол $A''$):

$\cos a'' = \cos b'' \cos c'' + \sin b'' \sin c'' \cos A''$

Теперь подставим в это выражение указанные выше соотношения:

$\cos(\pi - \hat{A}) = \cos(\pi - \hat{B}) \cos(\pi - \hat{C}) + \sin(\pi - \hat{B}) \sin(\pi - \hat{C}) \cos(\pi - \alpha)$

Применим формулы приведения тригонометрических функций $\cos(\pi - x) = -\cos x$ и $\sin(\pi - x) = \sin x$:

$-\cos \hat{A} = (-\cos \hat{B})(-\cos \hat{C}) + (\sin \hat{B})(\sin \hat{C})(-\cos \alpha)$

Упростим полученное выражение:

$-\cos \hat{A} = \cos \hat{B} \cos \hat{C} - \sin \hat{B} \sin \hat{C} \cos \alpha$

Наконец, умножим обе части равенства на -1, чтобы получить итоговую формулу:

$\cos \hat{A} = -\cos \hat{B} \cos \hat{C} + \sin \hat{B} \sin \hat{C} \cos \alpha$

Таким образом, верность равенства доказана.

Ответ: Верность равенства доказана.

Докажем равенство $\frac{\sin \alpha}{\sin \hat{A}} = \frac{\sin \beta}{\sin \hat{B}} = \frac{\sin \gamma}{\sin \hat{C}}$, которое известно как сферическая теорема синусов.

Для доказательства будем исходить из первой сферической теоремы косинусов, которая для угла $\hat{A}$ имеет вид:

$\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos \hat{A}$

Выразим из этой формулы косинус угла $\hat{A}$:

$\cos \hat{A} = \frac{\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \hat{A} = 1 - \cos^2 \hat{A}$:

$\sin^2 \hat{A} = 1 - \left( \frac{\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma}{\sin \beta \sin \gamma} \right)^2 = \frac{\sin^2 \beta \sin^2 \gamma - (\cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma)^2}{\sin^2 \beta \sin^2 \gamma}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$\text{Числитель} = (1 - \cos^2 \beta)(1 - \cos^2 \gamma) - (\cos^2 \alpha - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos^2 \beta \cos^2 \gamma)$

$= 1 - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + \cos^2 \beta \cos^2 \gamma - \cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos^2 \beta \cos^2 \gamma$

$= 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

Таким образом, мы получили:

$\sin^2 \hat{A} = \frac{1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}{\sin^2 \beta \sin^2 \gamma}$

Разделим обе части на $\sin^2 \alpha$:

$\frac{\sin^2 \hat{A}}{\sin^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}{\sin^2 \alpha \sin^2 \beta \sin^2 \gamma}$

Выражение в правой части симметрично относительно $\alpha, \beta, \gamma$. Это означает, что если мы проведем аналогичные выкладки для углов $\hat{B}$ и $\hat{C}$, мы получим то же самое выражение в правой части. Следовательно:

$\frac{\sin^2 \hat{A}}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \hat{B}}{\sin^2 \beta} = \frac{\sin^2 \hat{C}}{\sin^2 \gamma}$

Поскольку все углы в невырожденном трехгранном угле находятся в интервале $(0, \pi)$, их синусы положительны. Значит, мы можем извлечь квадратный корень из всех частей равенства:

$\frac{\sin \hat{A}}{\sin \alpha} = \frac{\sin \hat{B}}{\sin \beta} = \frac{\sin \hat{C}}{\sin \gamma}$

Перевернув дроби, получаем искомое равенство:

$\frac{\sin \alpha}{\sin \hat{A}} = \frac{\sin \beta}{\sin \hat{B}} = \frac{\sin \gamma}{\sin \hat{C}}$

Таким образом, верность равенства доказана.

Ответ: Верность равенства доказана.