Номер 215, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

215. Квадрат $ABCD$ со стороной $a$ и трапеция $BEFC$ размещены так, что боковая сторона $BE$ трапеции перпендикулярна плоскости $ABC$, а угол между плоскостями $ABC$ и $CDF$ равен $45^\circ$. Найдите площадь трапеции, учитывая, что площадь треугольника $CDF$ равна $Q$.

Обозначим плоскость квадрата ABCD как $ \alpha $. По условию, боковая сторона BE трапеции BEFC перпендикулярна плоскости $ \alpha $. Это означает, что любая прямая в плоскости $ \alpha $, проходящая через точку B, будет перпендикулярна BE. В частности, $ BE \perp BC $.

Трапеция BEFC — это плоская фигура. Так как она содержит прямую BE, перпендикулярную плоскости $ \alpha $, то плоскость трапеции (обозначим ее $ \beta $) перпендикулярна плоскости $ \alpha $. Линией пересечения этих плоскостей является прямая BC.

Пусть F' — ортогональная проекция точки F на плоскость $ \alpha $. Поскольку плоскость $ \beta $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $, точка F' будет лежать на линии их пересечения, то есть на прямой BC. Таким образом, отрезок FF' перпендикулярен плоскости $ \alpha $.

Теперь найдем линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC ($ \alpha $) и CDF. Линией пересечения этих плоскостей является прямая CD.

В плоскости $ \alpha $ проведем прямую, перпендикулярную CD в точке C. Так как ABCD — квадрат, то $ BC \perp CD $.

В плоскости CDF нам нужно найти прямую, проходящую через C и перпендикулярную CD. Рассмотрим наклонную CF и ее проекцию CF' на плоскость $ \alpha $. Поскольку F' лежит на прямой BC, то проекция CF' лежит на прямой BC. Так как $ BC \perp CD $, то и проекция $ CF' \perp CD $. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $ CF \perp CD $.

Таким образом, линейным углом двугранного угла между плоскостями ABC и CDF является угол между прямыми BC и CF, то есть $ \angle BCF $. По условию, этот угол равен 45°. Поскольку F' — проекция F на прямую BC, то $ \triangle FCF' $ — прямоугольный ($ \angle FF'C = 90^\circ $), и $ \angle FCF' $ является искомым углом. Значит, $ \angle FCF' = 45^\circ $.

В прямоугольном треугольнике $ \triangle FCF' $ имеем:

$ \tan(\angle FCF') = \frac{FF'}{CF'} $

$ \tan(45^\circ) = 1 $, откуда следует, что $ FF' = CF' $.

Теперь используем информацию о площади треугольника CDF. Площадь треугольника CDF равна Q. Мы установили, что $ CF \perp CD $. Следовательно, площадь можно вычислить как:

$ S_{CDF} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CF = Q $

Сторона квадрата $ CD = a $. Длину CF найдем из прямоугольного треугольника $ \triangle FCF' $ по теореме Пифагора:

$ CF^2 = (CF')^2 + (FF')^2 $

Так как $ FF' = CF' $, то $ CF^2 = 2(CF')^2 $, и $ CF = CF' \sqrt{2} $.

Подставим это в формулу площади:

$ Q = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (CF' \sqrt{2}) $

Отсюда выразим CF':

$ CF' = \frac{2Q}{a\sqrt{2}} = \frac{Q\sqrt{2}}{a} $

Так как $ FF' = CF' $, то $ FF' = \frac{Q\sqrt{2}}{a} $.

Наконец, найдем площадь трапеции BEFC. В названии трапеции BEFC стороны перечисляются последовательно, и "боковая сторона BE" означает, что BE не является основанием. Наиболее естественная конфигурация — когда основаниями являются BC и EF, то есть $ BC \parallel EF $.

Поскольку BE и FF' оба перпендикулярны плоскости $ \alpha $ и лежат в одной плоскости $ \beta $, они параллельны ($ BE \parallel FF' $). Фигура BEF'F является прямоугольной трапецией (или прямоугольником).

Условие $ BC \parallel EF $ для трапеции, лежащей в вертикальной плоскости $ \beta $, означает, что высоты всех точек прямой EF над плоскостью $ \alpha $ одинаковы и равны высоте точки E, то есть BE. Следовательно, $ FF' = BE $.

Обозначим высоту $ h = BE = FF' = \frac{Q\sqrt{2}}{a} $.

Трапеция BEFC является прямоугольной, так как $ BE \perp BC $. Ее основания — BC и EF, а высота — BE. Нет, это неверно. В плоскости $ \beta $ основания BC и EF параллельны. Высотой трапеции является перпендикуляр между прямыми, содержащими основания. Поскольку $ BE \perp BC $, высота трапеции в ее плоскости равна BE, только если EF лежит на прямой, перпендикулярной BE, что неверно.

Рассмотрим трапецию BEFC в ее плоскости $ \beta $. $ BE \perp BC $. Так как $ BE \parallel FF' $ и $ BF' \parallel EF $ (нет, неверно). Поскольку $ BC \parallel EF $ и $ BE \perp BC $, то BEFC — это прямоугольная трапеция с высотой BE. Основаниями являются BE и CF? Нет, это боковые стороны. Основания - BC и EF.

В плоскости $ \beta $ у нас есть прямоугольная трапеция BEF'F с основаниями BE и FF' (длиной h) и высотой BF'. Точка C лежит на прямой BF'. Таким образом, фигура BEFC — это трапеция с параллельными сторонами BE и FF'? Нет. Это трапеция с основаниями BC и EF. Поскольку $ BE \perp BC $, это прямоугольная трапеция, высота которой равна BE=h. Основаниями являются BC=a и EF. Длину EF можно найти из прямоугольной трапеции BEF'F. В ней BF' = BC + CF' или BF' = |BC - CF'|. Длина EF равна BF'. Точка F' может лежать на отрезке BC, или вне его. Но из $ \angle BCF = 45^\circ $ следует, что F' и B лежат по одну сторону от C. Длина второго основания EF равна CF'. Это можно увидеть, опустив перпендикуляр из C на EF. В плоскости $ \beta $ C, F', B лежат на одной прямой. EF — отрезок, параллельный этой прямой. Длина EF равна проекции на эту прямую, которая равна CF'. Нет, длина EF равна BF'.

Давайте вернемся к координатам в плоскости $ \beta $. Пусть $ C=(0,0) $, $ B=(a,0) $. Тогда $ F'=(CF', 0) $ или $ F'=(-CF', 0) $.$ \angle BCF=45^\circ $ означает, что проекция F' должна быть на луче CB, то есть $ F'=(CF', 0) $. Тогда $ B=(a,0), E=(a,h), C=(0,0), F=(CF', h) $. Основания трапеции BEFC параллельны оси y (вертикальны)? Нет. Основания BC и EF. Они параллельны оси x (горизонтальны).Высота трапеции — это расстояние между основаниями, равное $ h $. Длина оснований: $ BC = a $, $ EF = \sqrt{(a-CF')^2 + (h-h)^2} = |a-CF'| $. Площадь трапеции BEFC:$ S = \frac{1}{2} (BC + EF) \cdot h = \frac{1}{2} (a + |a-CF'|) \cdot h $.

Мы нашли $ CF' = h = \frac{Q\sqrt{2}}{a} $. Подставляем:

$ S = \frac{1}{2} \left(a + \left|a - \frac{Q\sqrt{2}}{a}\right|\right) \cdot \frac{Q\sqrt{2}}{a} $

Рассмотрим два случая:

1. Если $ a \ge \frac{Q\sqrt{2}}{a} $, то есть $ a^2 \ge Q\sqrt{2} $. Тогда $ \left|a - \frac{Q\sqrt{2}}{a}\right| = a - \frac{Q\sqrt{2}}{a} $.$ S = \frac{1}{2} \left(a + a - \frac{Q\sqrt{2}}{a}\right) \cdot \frac{Q\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{2} \left(2a - \frac{Q\sqrt{2}}{a}\right) \cdot \frac{Q\sqrt{2}}{a} = a \frac{Q\sqrt{2}}{a} - \frac{1}{2} \left(\frac{Q\sqrt{2}}{a}\right)^2 = Q\sqrt{2} - \frac{1}{2} \frac{2Q^2}{a^2} = Q\sqrt{2} - \frac{Q^2}{a^2} $.

2. Если $ a < \frac{Q\sqrt{2}}{a} $, то есть $ a^2 < Q\sqrt{2} $. Тогда $ \left|a - \frac{Q\sqrt{2}}{a}\right| = \frac{Q\sqrt{2}}{a} - a $.$ S = \frac{1}{2} \left(a + \frac{Q\sqrt{2}}{a} - a\right) \cdot \frac{Q\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{2} \left(\frac{Q\sqrt{2}}{a}\right) \cdot \frac{Q\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{2} \frac{2Q^2}{a^2} = \frac{Q^2}{a^2} $.

Ответ: Площадь трапеции равна $ Q\sqrt{2} - \frac{Q^2}{a^2} $, если $ a^2 \ge Q\sqrt{2} $, и $ \frac{Q^2}{a^2} $, если $ a^2 < Q\sqrt{2} $.