Номер 210, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

210. Через сторону $AD$ параллелограмма $ABCD$ проходит плоскость $\alpha$ под углом $45^\circ$ к стороне $AB$. Проекция стороны $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $a$, а проекции диагоналей — $b$ и $c$. Найдите длину отрезка $BC$.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, а $\alpha$ — плоскость, проходящая через сторону $AD$. Обозначим ортогональные проекции вершин $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$ как $B'$ и $C'$ соответственно. Поскольку сторона $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, проекциями точек $A$ и $D$ являются сами эти точки.

По условию задачи, проекция стороны $AB$ на плоскость $\alpha$ — это отрезок $AB'$, и его длина равна $a$, то есть $|AB'| = a$. Проекции диагоналей $AC$ и $BD$ — это отрезки $AC'$ и $B'D$ соответственно, и их длины равны $b$ и $c$, то есть $|AC'| = b$ и $|B'D| = c$.

Угол между стороной $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$. Этот угол является углом между отрезком $AB$ и его проекцией $AB'$, то есть $\angle BAB' = 45^\circ$. Треугольник $ABB'$ является прямоугольным, так как $BB'$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Из этого треугольника находим длину стороны $AB$:

$|AB'| = |AB| \cdot \cos(45^\circ)$

$a = |AB| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \implies |AB| = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

Рассмотрим проекцию параллелограмма $ABCD$ на плоскость $\alpha$. Это будет четырехугольник $AB'C'D$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$.

При ортогональном проецировании на плоскость векторное равенство сохраняется. Проекцией вектора $\vec{AD}$ является сам вектор $\vec{AD}$, так как он лежит в плоскости проекции. Проекцией вектора $\vec{BC}$ является вектор $\vec{B'C'}$. Таким образом, получаем равенство проекций:

$\vec{AD} = \vec{B'C'}$

Это означает, что четырехугольник $AB'C'D$ является параллелограммом, так как у него есть пара равных и параллельных сторон.

Для любого параллелограмма сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех его сторон. Применим это свойство к параллелограмму $AB'C'D$:

$|AC'|^2 + |B'D|^2 = 2(|AB'|^2 + |AD|^2)$

Подставим известные нам значения длин:

$|AB'| = a$

$|AC'| = b$

$|B'D| = c$

Длина стороны $AD$ равна длине стороны $BC$ исходного параллелограмма, так как это противолежащие стороны. Обозначим искомую длину $BC$ через $x$, тогда $|AD| = |BC| = x$.

Подставляем все в формулу:

$b^2 + c^2 = 2(a^2 + x^2)$

Теперь выразим $x$ из этого уравнения:

$b^2 + c^2 = 2a^2 + 2x^2$

$2x^2 = b^2 + c^2 - 2a^2$

$x^2 = \frac{b^2 + c^2 - 2a^2}{2}$

$x = \sqrt{\frac{b^2 + c^2 - 2a^2}{2}}$

Таким образом, длина отрезка $BC$ равна $\sqrt{\frac{b^2 + c^2 - 2a^2}{2}}$.

Ответ: $BC = \sqrt{\frac{b^2 + c^2 - 2a^2}{2}}$.