Номер 204, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

204. Боковые грани треугольной пирамиды попарно перпендикулярны. Докажите, что плоскости, проходящие через боковые ребра перпендикулярно противоположным боковым граням, имеют общую прямую.

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Боковыми гранями являются $(SAB)$, $(SAC)$ и $(SBC)$. По условию, эти грани попарно перпендикулярны:

$(SAB) \perp (SAC)$

$(SAB) \perp (SBC)$

$(SAC) \perp (SBC)$

Линиями пересечения этих плоскостей являются боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$. Если три плоскости, проходящие через одну точку, попарно перпендикулярны, то линии их пересечения также попарно перпендикулярны. Следовательно, боковые ребра в вершине $S$ образуют прямой трехгранный угол:

$SA \perp SB$, $SA \perp SC$, $SB \perp SC$.

Из этого следует, что каждое боковое ребро перпендикулярно плоскости, содержащей два других боковых ребра:

$SA \perp (SBC)$

$SB \perp (SAC)$

$SC \perp (SAB)$

Рассмотрим плоскости, упомянутые в условии задачи:

• $\Pi_1$: плоскость, проходящая через ребро $SA$ перпендикулярно противоположной боковой грани $(SBC)$.
• $\Pi_2$: плоскость, проходящая через ребро $SB$ перпендикулярно противоположной боковой грани $(SAC)$.
• $\Pi_3$: плоскость, проходящая через ребро $SC$ перпендикулярно противоположной боковой грани $(SAB)$.

Здесь возникает неоднозначность. Например, для плоскости $\Pi_1$: так как ребро $SA$ уже перпендикулярно плоскости $(SBC)$, то любая плоскость, проходящая через $SA$, будет перпендикулярна плоскости $(SBC)$.

Эта неоднозначность указывает на вероятную опечатку в условии задачи. В классических формулировках подобных задач речь идет о плоскостях, проходящих через боковые ребра перпендикулярно противоположным сторонам основания. Примем эту более корректную и однозначную формулировку для решения.

Итак, будем доказывать, что следующие три плоскости имеют общую прямую:

• $\Pi_1$: плоскость, проходящая через ребро $SA$ перпендикулярно стороне основания $BC$.
• $\Pi_2$: плоскость, проходящая через ребро $SB$ перпендикулярно стороне основания $AC$.
• $\Pi_3$: плоскость, проходящая через ребро $SC$ перпендикулярно стороне основания $AB$.

Все три плоскости по определению проходят через вершину $S$. Следовательно, их пересечением может быть либо только точка $S$, либо прямая, проходящая через $S$. Чтобы доказать, что они пересекаются по прямой, достаточно показать, что существует прямая, проходящая через $S$ и лежащая в каждой из этих трех плоскостей.

Рассмотрим высоту пирамиды $SH$, опущенную из вершины $S$ на плоскость основания $(ABC)$. Докажем, что прямая $SH$ лежит в каждой из плоскостей $\Pi_1$, $\Pi_2$ и $\Pi_3$.

1. Докажем, что прямая $SH$ лежит в плоскости $\Pi_3$.

Плоскость $\Pi_3$ проходит через $SC$ и перпендикулярна $AB$.

По определению высоты, $SH \perp (ABC)$, а значит, $SH$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $SH \perp AB$.

Мы также знаем, что $SC \perp (SAB)$, а значит, $SC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $SC \perp AB$.

Поскольку две пересекающиеся прямые $SH$ и $SC$ перпендикулярны прямой $AB$, то и вся плоскость $(SCH)$, проходящая через них, перпендикулярна прямой $AB$.

Плоскость $(SCH)$ проходит через ребро $SC$ и перпендикулярна $AB$, что в точности соответствует определению плоскости $\Pi_3$. Следовательно, $\Pi_3$ — это плоскость $(SCH)$, и прямая $SH$ лежит в плоскости $\Pi_3$.

2. Докажем, что прямая $SH$ лежит в плоскости $\Pi_2$.

Плоскость $\Pi_2$ проходит через $SB$ и перпендикулярна $AC$.

По определению высоты, $SH \perp (ABC)$, значит, $SH \perp AC$.

Мы знаем, что $SB \perp (SAC)$, значит, $SB \perp AC$.

Так как пересекающиеся прямые $SH$ и $SB$ перпендикулярны прямой $AC$, то плоскость $(SBH)$, проходящая через них, перпендикулярна прямой $AC$.

Плоскость $(SBH)$ проходит через ребро $SB$ и перпендикулярна $AC$, что соответствует определению плоскости $\Pi_2$. Следовательно, $\Pi_2$ — это плоскость $(SBH)$, и прямая $SH$ лежит в плоскости $\Pi_2$.

3. Докажем, что прямая $SH$ лежит в плоскости $\Pi_1$.

Плоскость $\Pi_1$ проходит через $SA$ и перпендикулярна $BC$.

По определению высоты, $SH \perp (ABC)$, значит, $SH \perp BC$.

Мы знаем, что $SA \perp (SBC)$, значит, $SA \perp BC$.

Так как пересекающиеся прямые $SH$ и $SA$ перпендикулярны прямой $BC$, то плоскость $(SAH)$, проходящая через них, перпендикулярна прямой $BC$.

Плоскость $(SAH)$ проходит через ребро $SA$ и перпендикулярна $BC$, что соответствует определению плоскости $\Pi_1$. Следовательно, $\Pi_1$ — это плоскость $(SAH)$, и прямая $SH$ лежит в плоскости $\Pi_1$.

Таким образом, мы доказали, что высота пирамиды $SH$ принадлежит всем трем плоскостям $\Pi_1$, $\Pi_2$ и $\Pi_3$. Это означает, что эти три плоскости пересекаются по прямой $SH$.

Ответ: Утверждение доказано. Искомой общей прямой является высота пирамиды, опущенная из вершины, в которой сходятся попарно перпендикулярные грани.