Номер 207, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

207. Докажите, что в треугольной пирамиде $QABC$ плоские углы $AQB$ и $AQC$ равны тогда и только тогда, когда равны двугранные углы $AQCB$ и $AQBC$.

Для доказательства данного утверждения "тогда и только тогда" необходимо доказать два утверждения: прямое и обратное.

1. Прямое утверждение: если плоские углы $\angle AQB$ и $\angle AQC$ равны, то равны и двугранные углы AQCB и AQBC.

Пусть в пирамиде $QABC$ дано, что $\angle AQB = \angle AQC$.
Для измерения двугранных углов при ребрах $QB$ и $QC$ построим их линейные углы. Опустим из вершины $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость грани $QBC$. Из точки $H$ опустим перпендикуляры $HB_1$ на ребро $QB$ и $HC_1$ на ребро $QC$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как $AH \perp (QBC)$ и $HB_1 \perp QB$, то и наклонная $AB_1 \perp QB$. Аналогично, так как $AH \perp (QBC)$ и $HC_1 \perp QC$, то и наклонная $AC_1 \perp QC$.

Следовательно, угол $\angle AHB_1$ является линейным углом двугранного угла $AQBC$ (при ребре $QB$), а угол $\angle AHC_1$ является линейным углом двугранного угла $AQCB$ (при ребре $QC$). Нам нужно доказать, что $\angle AHB_1 = \angle AHC_1$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AQB_1$ и $\triangle AQC_1$ (углы при вершинах $B_1$ и $C_1$ прямые по построению).

• Гипотенуза $AQ$ — общая.
• Острые углы $\angle AQB_1$ и $\angle AQC_1$ равны по условию (так как это и есть углы $\angle AQB$ и $\angle AQC$).

Следовательно, $\triangle AQB_1 \cong \triangle AQC_1$ по гипотенузе и острому углу.

Из равенства этих треугольников следует равенство их катетов: $AB_1 = AC_1$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB_1$ и $\triangle AHC_1$ (углы при вершине $H$ прямые, так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости).

• Катет $AH$ — общий.
• Гипотенузы $AB_1$ и $AC_1$ равны, как было доказано выше.

Следовательно, $\triangle AHB_1 \cong \triangle AHC_1$ по катету и гипотенузе.

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AHB_1 = \angle AHC_1$. Это означает, что линейные углы двугранных углов $AQBC$ и $AQCB$ равны, а значит, равны и сами двугранные углы.

Ответ: Прямое утверждение доказано.

2. Обратное утверждение: если двугранные углы AQCB и AQBC равны, то равны и плоские углы $\angle AQB$ и $\angle AQC$.

Пусть в пирамиде $QABC$ дано, что двугранный угол при ребре $QB$ равен двугранному углу при ребре $QC$.
Выполним те же построения, что и в первой части. Опустим из $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $(QBC)$, а из $H$ — перпендикуляры $HB_1$ на $QB$ и $HC_1$ на $QC$.

Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, $AB_1 \perp QB$ и $AC_1 \perp QC$. Углы $\angle AHB_1$ и $\angle AHC_1$ являются линейными углами данных двугранных углов. По условию, $\angle AHB_1 = \angle AHC_1$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB_1$ и $\triangle AHC_1$.

• Катет $AH$ — общий.
• Прилежащие острые углы $\angle AHB_1$ и $\angle AHC_1$ равны по условию.

Следовательно, $\triangle AHB_1 \cong \triangle AHC_1$ по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB_1 = AC_1$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AQB_1$ и $\triangle AQC_1$.

• Гипотенуза $AQ$ — общая.
• Катеты $AB_1$ и $AC_1$ равны, как было доказано выше.

Следовательно, $\triangle AQB_1 \cong \triangle AQC_1$ по гипотенузе и катету.

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих острых углов: $\angle AQB_1 = \angle AQC_1$. А это и есть плоские углы $\angle AQB$ и $\angle AQC$.

Ответ: Обратное утверждение доказано.

Поскольку доказаны и прямое, и обратное утверждения, исходное утверждение полностью доказано.