Номер 202, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

202. Боковые грани треугольной пирамиды имеют площади $S_1$, $S_2$ и $S_3$ и попарно перпендикулярны. Найдите площадь основания этой пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида $OABC$ с вершиной в точке $O$. Боковыми гранями являются треугольники $OAB$, $OBC$ и $OAC$, а основанием — треугольник $ABC$.

По условию, боковые грани попарно перпендикулярны. Это означает, что плоскости, в которых лежат эти грани, перпендикулярны друг другу. Следовательно, ребра, являющиеся линиями пересечения этих плоскостей, также попарно перпендикулярны: $OA \perp OB$, $OB \perp OC$ и $OC \perp OA$. Таким образом, трехгранный угол при вершине $O$ — прямой, а боковые грани являются прямоугольными треугольниками.

Обозначим длины ребер, выходящих из вершины $O$, как $OA = a$, $OB = b$ и $OC = c$. Площади боковых граней, которые нам даны, равны (порядок нумерации не имеет значения, так как итоговая формула симметрична):

$S_1 = S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}ab$

$S_2 = S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2}bc$

$S_3 = S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2}ac$

Из этих соотношений можно выразить квадраты произведений длин ребер:

$(ab)^2 = 4S_1^2$

$(bc)^2 = 4S_2^2$

$(ac)^2 = 4S_3^2$

Для нахождения площади основания $S_{осн} = S_{\triangle ABC}$ воспользуемся методом координат. Поместим вершину $O$ в начало прямоугольной системы координат, а ребра $OA$, $OB$ и $OC$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. В этой системе координат вершины пирамиды будут иметь следующие координаты:

$O(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, $C(0, 0, c)$.

Площадь треугольника $ABC$ можно найти как половину модуля векторного произведения векторов, образующих две его стороны, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AB} = (0-a, b-0, 0-0) = (-a, b, 0)$

$\vec{AC} = (0-a, 0-0, c-0) = (-a, 0, c)$

Теперь вычислим их векторное произведение:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = \mathbf{i}(bc - 0) - \mathbf{j}(-ac - 0) + \mathbf{k}(0 - (-ab)) = (bc, ac, ab)$

Модуль этого вектора равен $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2}$.

Следовательно, площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2}$

Подставим в полученную формулу выраженные ранее квадраты произведений:

$S_{осн} = \frac{1}{2}\sqrt{4S_2^2 + 4S_3^2 + 4S_1^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2)}$

Упростив выражение, получаем итоговый результат. Этот результат также известен как теорема де Гуа или пространственная теорема Пифагора.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2} = \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}$

Ответ: $\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}$