Номер 198, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

198. Докажите, что проекции на данную плоскость двух параллельных прямых параллельны или совпадают.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и плоскость для проекции $\alpha$. Пусть $a'$ и $b'$ — ортогональные проекции прямых $a$ и $b$ на плоскость $\alpha$. Требуется доказать, что $a' \parallel b'$ или $a'$ и $b'$ совпадают.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны плоскости проекции $\alpha$.

Если прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$), то, поскольку $a \parallel b$, прямая $b$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($b \perp \alpha$). Проекцией прямой, перпендикулярной к плоскости, является точка. Следовательно, проекции $a'$ и $b'$ являются точками. Утверждение теоремы говорит о параллельности или совпадении прямых, поэтому данный случай является вырожденным. Если прямые $a$ и $b$ различны, их проекции будут двумя различными точками. Если прямая $a$ совпадает с $b$ (что противоречит условию о "двух" прямых), их проекции совпадут. Основное содержание теоремы раскрывается во втором, невырожденном случае.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ не перпендикулярны плоскости проекции $\alpha$.

В этом случае их проекции $a'$ и $b'$ являются прямыми, лежащими в плоскости $\alpha$.

Для доказательства воспользуемся методом проецирующих плоскостей. Проецирующая плоскость для некоторой прямой — это плоскость, которая проходит через эту прямую и перпендикулярна плоскости проекции.

Пусть $\beta_a$ — проецирующая плоскость для прямой $a$. Тогда, по определению, $a \subset \beta_a$ и $\beta_a \perp \alpha$. Проекция $a'$ является линией пересечения этих плоскостей: $a' = \beta_a \cap \alpha$.

Аналогично, пусть $\beta_b$ — проецирующая плоскость для прямой $b$. Тогда $b \subset \beta_b$, $\beta_b \perp \alpha$, и $b' = \beta_b \cap \alpha$.

Докажем, что проецирующие плоскости $\beta_a$ и $\beta_b$ либо параллельны, либо совпадают. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$ и проведем через нее прямую $n_A$, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Так как прямая $a$ не перпендикулярна $\alpha$, прямые $a$ и $n_A$ пересекаются и задают единственную плоскость — это и есть $\beta_a$. Аналогично, выберем на прямой $b$ точку $B$ и проведем через нее прямую $n_B$, перпендикулярную $\alpha$. Прямые $b$ и $n_B$ задают плоскость $\beta_b$.

По условию, $a \parallel b$. Все прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой, поэтому $n_A \parallel n_B$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые ($a$ и $n_A$) в плоскости $\beta_a$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($b$ и $n_B$) в плоскости $\beta_b$. По признаку параллельности двух плоскостей, отсюда следует, что $\beta_a \parallel \beta_b$. Если же исходные прямые $a$ и $b$ лежат в одной и той же проецирующей плоскости, то их проецирующие плоскости совпадают: $\beta_a = \beta_b$.

Теперь рассмотрим следствия для проекций $a'$ и $b'$:

1. Если проецирующие плоскости совпадают ($\beta_a = \beta_b$), то их линии пересечения с плоскостью $\alpha$ также совпадают. Так как $a' = \beta_a \cap \alpha$ и $b' = \beta_b \cap \alpha$, то $a' = b'$. В этом случае проекции совпадают.

2. Если проецирующие плоскости параллельны ($\beta_a \parallel \beta_b$), то по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, линии их пересечения параллельны. Следовательно, $a' \parallel b'$. В этом случае проекции параллельны.

Таким образом, во всех невырожденных случаях проекции двух параллельных прямых на плоскость параллельны или совпадают. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Проекции на данную плоскость двух параллельных прямых параллельны (если их проецирующие плоскости различны и, следовательно, параллельны) или совпадают (если их проецирующие плоскости совпадают).