Номер 192, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

192. Проекцией равнобедренного прямо-угольного треугольника на плоскость $\alpha$ является равносторонний треугольник (рис. 79). Найдите угол между гипотенузой и плоскостью $\alpha$.

$\alpha$

Рис. 79

Пусть данный равнобедренный прямоугольный треугольник — это $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть его катеты равны $AC = BC = a$. Тогда по теореме Пифагора его гипотенуза $AB = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $\alpha$ является равносторонний треугольник $A'B'C'$ со стороной, которую мы обозначим как $s$. Таким образом, $A'B' = B'C' = C'A' = s$.

Угол между гипотенузой $AB$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\phi$ между отрезком $AB$ и его проекцией $A'B'$. Для нахождения этого угла воспользуемся формулой, связывающей длину отрезка, длину его проекции и угол между ними:

$\cos \phi = \frac{A'B'}{AB}$

Наша задача — найти соотношение между длиной гипотенузы $AB$ и длиной её проекции $A'B'$. Для этого найдем, как связаны величины $a$ и $s$.

Рассмотрим скалярное произведение векторов-катетов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. Поскольку угол между ними равен $90^\circ$, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$.

Представим векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ как сумму их проекций на плоскость $\alpha$ и векторов, перпендикулярных этой плоскости (нормальных составляющих).

$\vec{CA} = \vec{C'A'} + \vec{n_1}$

$\vec{CB} = \vec{C'B'} + \vec{n_2}$

Тогда их скалярное произведение:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (\vec{C'A'} + \vec{n_1}) \cdot (\vec{C'B'} + \vec{n_2}) = \vec{C'A'} \cdot \vec{C'B'} + \vec{C'A'} \cdot \vec{n_2} + \vec{n_1} \cdot \vec{C'B'} + \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$

Так как векторы $\vec{C'A'}$ и $\vec{C'B'}$ лежат в плоскости $\alpha$, а $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ ей перпендикулярны, то их попарные скалярные произведения равны нулю: $\vec{C'A'} \cdot \vec{n_2} = 0$ и $\vec{n_1} \cdot \vec{C'B'} = 0$.

Остается: $\vec{C'A'} \cdot \vec{C'B'} + \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Найдем первое слагаемое. $\vec{C'A'} \cdot \vec{C'B'} = |A'C'| \cdot |B'C'| \cdot \cos(\angle A'C'B')$. Так как треугольник $A'B'C'$ равносторонний, то $|A'C'| = |B'C'| = s$, а $\angle A'C'B' = 60^\circ$.

$\vec{C'A'} \cdot \vec{C'B'} = s \cdot s \cdot \cos(60^\circ) = s^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{s^2}{2}$.

Теперь рассмотрим связь между длиной катета $a$, длиной его проекции $s$ и высотой. По теореме Пифагора в пространстве, квадрат длины отрезка равен сумме квадрата длины его проекции и квадрата разности высот его концов. Пусть $h_A, h_B, h_C$ — высоты точек $A, B, C$ над плоскостью $\alpha$.

$AC^2 = A'C'^2 + (h_A - h_C)^2 \implies a^2 = s^2 + (h_A - h_C)^2$

$BC^2 = B'C'^2 + (h_B - h_C)^2 \implies a^2 = s^2 + (h_B - h_C)^2$

Отсюда следует, что $(h_A - h_C)^2 = (h_B - h_C)^2$. Это возможно, если $h_A - h_C = h_B - h_C$ (что означало бы, что $\vec{n_1} = \vec{n_2}$) или $h_A - h_C = -(h_B - h_C)$ (что означало бы, что $\vec{n_1} = -\vec{n_2}$).

Подставим это в наше уравнение $\vec{C'A'} \cdot \vec{C'B'} + \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

$\frac{s^2}{2} + (h_A - h_C)(h_B - h_C) = 0$.

Если $h_A - h_C = h_B - h_C$, то $\frac{s^2}{2} + (h_A - h_C)^2 = 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если оба равны нулю, что невозможно ($s \neq 0$).

Следовательно, $h_A - h_C = -(h_B - h_C)$. Обозначим $\Delta h = h_A - h_C$. Тогда $h_B - h_C = -\Delta h$.

$\frac{s^2}{2} + (\Delta h)(-\Delta h) = 0 \implies \frac{s^2}{2} - (\Delta h)^2 = 0 \implies (\Delta h)^2 = \frac{s^2}{2}$.

Теперь найдем длину катета $a$ через $s$:

$a^2 = s^2 + (\Delta h)^2 = s^2 + \frac{s^2}{2} = \frac{3s^2}{2}$.

Зная $a^2$, найдем квадрат длины гипотенузы $AB$:

$AB^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2 = 2 \cdot \frac{3s^2}{2} = 3s^2$.

Отсюда $AB = \sqrt{3s^2} = s\sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти косинус искомого угла $\phi$:

$\cos \phi = \frac{A'B'}{AB} = \frac{s}{s\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, искомый угол равен $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$