Номер 187, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

187. Прямая $l$ образует равные углы с тремя попарно пересекающимися прямыми плоскости $\alpha$. Докажите, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного. Пусть даны три попарно пересекающиеся прямые $a$, $b$ и $c$, лежащие в плоскости $\alpha$, и прямая $l$, образующая с ними равные углы $\phi$. Предположим, что прямая $l$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Если прямая $l$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$ и не лежит в ней, то ее ортогональная проекция на плоскость $\alpha$ является некоторой прямой $l'$. Пусть $\gamma$ — угол между прямой $l$ и ее проекцией $l'$ (то есть угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$). Согласно нашему предположению, $\gamma \neq 90^\circ$, а значит, $\cos\gamma \neq 0$.

Угол $\phi$ между наклонной $l$ и некоторой прямой $m$, лежащей в плоскости, связан с углом $\gamma$ между наклонной и плоскостью и углом $\psi$ между проекцией $l'$ и прямой $m$ соотношением, известным как теорема о трех косинусах:

$\cos\phi = \cos\gamma \cdot \cos\psi$

Применим это соотношение к каждой из трех прямых $a$, $b$ и $c$:

$\cos\phi = \cos\gamma \cdot \cos(\angle(l', a))$

$\cos\phi = \cos\gamma \cdot \cos(\angle(l', b))$

$\cos\phi = \cos\gamma \cdot \cos(\angle(l', c))$

Поскольку левые части этих равенств равны по условию, и $\cos\gamma \neq 0$, то должны быть равны и косинусы углов, которые проекция $l'$ образует с прямыми $a, b, c$:

$\cos(\angle(l', a)) = \cos(\angle(l', b)) = \cos(\angle(l', c))$

Так как угол между прямыми по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, из равенства косинусов следует и равенство самих углов:

$\angle(l', a) = \angle(l', b) = \angle(l', c)$

Это означает, что в плоскости $\alpha$ существует прямая $l'$, которая образует равные углы с тремя различными, попарно пересекающимися прямыми $a, b, c$. Покажем, что это невозможно.

Введем в плоскости $\alpha$ систему координат, направив ось $Ox$ вдоль прямой $l'$. Тогда уравнение $l'$ будет $y=0$. Прямые $a, b, c$ будут иметь уравнения $y=k_a x + c_a$, $y=k_b x + c_b$, $y=k_c x + c_c$. Угол $\psi$ между прямой $y=kx+c$ и осью $Ox$ определяется как $\psi = \arctan|k|$. Из условия равенства углов следует, что $|k_a|=|k_b|=|k_c|$. Пусть это значение равно $K$. Тогда угловые коэффициенты трех различных прямых могут принимать только значения $K$ или $-K$. Но для трех различных прямых нужно три различных угловых коэффициента (так как прямые с одинаковыми коэффициентами параллельны, а по условию они попарно пересекаются). Из набора $\{K, -K\}$ невозможно выбрать три различных числа. Следовательно, такой ситуации быть не может.

Случай, когда прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$ ($\gamma=0$), приводит к тому же противоречию: прямая $l$ должна образовывать равные углы с тремя другими прямыми $a,b,c$ в той же плоскости, что, как мы показали, невозможно для трех попарно пересекающихся прямых.

Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что прямая $l$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, приводит к противоречию. Следовательно, это предположение неверно, и прямая $l$ должна быть перпендикулярна плоскости $\alpha$. Если $l \perp \alpha$, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, и угол с каждой из прямых $a, b, c$ равен $90^\circ$, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.