Номер 180, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

180. Прямая $l$ принадлежит плоскости $\alpha$. Через точку $A$ пространства проходит плоскость $\beta$, перпендикулярная плоскости $\alpha$. Докажите, что проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$ принадлежит плоскости $\beta$.

Пусть $A'$ — это ортогональная проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. По определению проекции, прямая $AA'$, проходящая через точку $A$ и ее проекцию $A'$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Математически это записывается как $AA' \perp \alpha$.

По условию задачи, через точку $A$ проходит плоскость $\beta$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. То есть, $A \in \beta$ и $\beta \perp \alpha$.

Рассмотрим свойство перпендикулярных плоскостей. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то в одной из них ($\beta$) можно провести прямую, перпендикулярную другой плоскости ($\alpha$). Более того, такую прямую можно провести через любую точку плоскости $\beta$, в том числе через точку $A$. Пусть $b$ — это прямая, проходящая через точку $A$, лежащая в плоскости $\beta$ и перпендикулярная плоскости $\alpha$. Таким образом, для прямой $b$ выполняются следующие условия: $A \in b$, $b \subset \beta$ и $b \perp \alpha$.(Такая прямая $b$ существует. Например, это перпендикуляр, опущенный из точки $A$ в плоскости $\beta$ на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$).

Теперь сравним прямые $AA'$ и $b$. Обе прямые проходят через одну и ту же точку $A$ и обе перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$.

Согласно теореме о единственности прямой, перпендикулярной плоскости (через любую точку пространства проходит только одна прямая, перпендикулярная данной плоскости), прямые $AA'$ и $b$ должны совпадать.

Поскольку прямая $b$ полностью лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$) и прямая $AA'$ совпадает с ней, то и прямая $AA'$ полностью лежит в плоскости $\beta$ ($AA' \subset \beta$).

Если прямая $AA'$ принадлежит плоскости $\beta$, то все ее точки, включая точку $A'$, также принадлежат этой плоскости. Следовательно, $A' \in \beta$.

Таким образом, доказано, что проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$ принадлежит плоскости $\beta$.

Ответ: Утверждение, что проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$ принадлежит плоскости $\beta$, доказано.