Номер 179, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

179. Пусть $B$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$, $l$ — некоторая прямая этой плоскости (рис. 73). Докажите, что проекции точек $A$ и $B$ на прямую $l$ совпадают.

Рис. 73

Для доказательства воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Дано:

• $B$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Это означает, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($AB \perp \alpha$).
• Прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$ ($l \subset \alpha$).

Доказать:

• Проекция точки $A$ на прямую $l$ совпадает с проекцией точки $B$ на прямую $l$.

Доказательство:

1. Пусть точка $C$ — проекция точки $B$ на прямую $l$. По определению проекции точки на прямую, точка $C$ принадлежит прямой $l$ ($C \in l$) и отрезок $BC$ перпендикулярен прямой $l$ ($BC \perp l$).

2. По условию задачи, $AB \perp \alpha$. Отрезок $AC$ является наклонной, проведенной из точки $A$ к плоскости $\alpha$. Отрезок $AB$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $BC$ — это проекция наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$.

3. Мы имеем:

• $AB$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.
• $AC$ — наклонная к плоскости $\alpha$.
• $BC$ — проекция наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$.
• Прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$, проходит через основание наклонной (точку $C$) и перпендикулярна ее проекции $BC$ ($l \perp BC$).

4. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

5. Следовательно, прямая $l$ перпендикулярна наклонной $AC$ ($l \perp AC$).

6. Так как $AC \perp l$ и точка $C$ лежит на прямой $l$, то по определению точка $C$ является проекцией точки $A$ на прямую $l$.

7. Таким образом, мы показали, что одна и та же точка $C$ является проекцией как точки $B$, так и точки $A$ на прямую $l$. Следовательно, проекции точек $A$ и $B$ на прямую $l$ совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Проекции точек А и В на прямую l совпадают.