Номер 181, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

181. Точка $M$ находится на расстоянии $a$ от плоскости $\alpha$ и на расстоянии $b$ от прямой $l$ этой плоскости. Пусть $N$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $l$.

Обозначим заданные величины и точки. Пусть $M$ — данная точка, $\alpha$ — плоскость, $l$ — прямая, лежащая в плоскости $\alpha$.

Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $a$. По определению, это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Точка $N$ является проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$, значит, отрезок $MN$ и есть этот перпендикуляр. Следовательно, $MN \perp \alpha$ и длина отрезка $MN = a$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $l$ равно $b$. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $l$. Пусть $P$ — основание этого перпендикуляра, то есть точка на прямой $l$ такая, что $MP \perp l$. Длина этого отрезка $MP = b$.

Необходимо найти расстояние от точки $N$ до прямой $l$. Это будет длина отрезка $NP$, так как $NP$ является проекцией наклонной $MP$ на плоскость $\alpha$, а $MP \perp l$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($NP$) перпендикулярна прямой ($l$), то и сама наклонная ($MP$) перпендикулярна этой прямой, что соответствует нашему построению.

Рассмотрим треугольник $\triangle MNP$. Так как $MN \perp \alpha$, а прямая $NP$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через основание перпендикуляра $N$, то $MN \perp NP$. Таким образом, треугольник $\triangle MNP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$.

В этом прямоугольном треугольнике:

• $MN = a$ — катет (перпендикуляр к плоскости).
• $MP = b$ — гипотенуза (наклонная к плоскости).
• $NP$ — второй катет (проекция наклонной), длина которого является искомым расстоянием.

Применим теорему Пифагора: $MP^2 = MN^2 + NP^2$.

Подставим известные значения в формулу:
$b^2 = a^2 + NP^2$

Выразим из этого уравнения $NP$:
$NP^2 = b^2 - a^2$
$NP = \sqrt{b^2 - a^2}$

Таким образом, расстояние от точки $N$ до прямой $l$ равно $\sqrt{b^2 - a^2}$.

Ответ: $\sqrt{b^2 - a^2}$