Номер 183, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

183. Точка $M$ равноудалена от пересекающихся прямых $a$ и $b$ плоскости $\alpha$. Докажите, что проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$ находится на одной из биссектрис между прямыми $a$ и $b$.

Пусть $P$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. По определению проекции, отрезок $MP$ перпендикулярен плоскости $\alpha$ ($MP \perp \alpha$).

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $A$ — основание перпендикуляра из точки $M$ на прямую $a$, а $B$ — основание перпендикуляра из точки $M$ на прямую $b$. Тогда $MA \perp a$ и $MB \perp b$. По условию задачи, точка $M$ равноудалена от прямых $a$ и $b$, следовательно, длины этих перпендикуляров равны: $MA = MB$.

Отрезки $PA$ и $PB$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\alpha$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MA$) перпендикулярна прямой ($a$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($PA$) на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Таким образом, из $MA \perp a$ следует, что $PA \perp a$. Аналогично, из $MB \perp b$ следует, что $PB \perp b$. Это означает, что длины отрезков $PA$ и $PB$ являются расстояниями от точки $P$ до прямых $a$ и $b$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MPA$ и $\triangle MPB$. Они являются прямоугольными, поскольку $MP$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезки $PA$ и $PB$ лежат в этой плоскости, значит $\angle MPA = \angle MPB = 90^\circ$.

В этих треугольниках:

• $MP$ — общий катет.
• $MA = MB$ — гипотенузы равны по условию задачи.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle MPA$ и $\triangle MPB$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $PA = PB$.

Мы установили, что точка $P$, которая является проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$, равноудалена от прямых $a$ и $b$ в этой плоскости. Геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.

Таким образом, точка $P$ должна принадлежать одной из этих биссектрис.

Ответ: Что и требовалось доказать.