Номер 186, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

186. В треугольной пирамиде проекция одной вершины на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот этой грани. Докажите, что это будет верно и для любой другой вершины этой пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида, вершины которой обозначим A, B, C, D. По условию задачи, проекция одной из вершин на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот (ортоцентром) этой грани. Без ограничения общности, пусть вершина D проецируется в ортоцентр H треугольника ABC.

Это означает, что отрезок DH является высотой пирамиды, опущенной на основание ABC, то есть $DH \perp (ABC)$. Точка H является точкой пересечения высот треугольника ABC.

Доказательство разобьем на два этапа. Сначала покажем, что у такой пирамиды скрещивающиеся ребра попарно перпендикулярны. Затем, используя это свойство, докажем утверждение задачи для другой вершины.

Этап 1: Доказательство попарной перпендикулярности скрещивающихся ребер.

1. Рассмотрим пару скрещивающихся ребер DA и BC. Поскольку H – ортоцентр треугольника ABC, то прямая AH, на которой лежит высота из вершины A, перпендикулярна стороне BC. Таким образом, $AH \perp BC$. По определению проекции, $DH \perp (ABC)$. Это значит, что прямая DH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости ABC, в том числе и прямой BC. Итак, $DH \perp BC$. Прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AH и DH, которые лежат в плоскости (ADH). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая BC перпендикулярна всей плоскости (ADH).Так как ребро DA лежит в плоскости (ADH), то прямая BC перпендикулярна ребру DA, то есть $DA \perp BC$.

2. Аналогично доказывается перпендикулярность для двух других пар скрещивающихся ребер:

• Для ребер DB и AC: так как H – ортоцентр, то $BH \perp AC$. Также $DH \perp AC$. Следовательно, прямая AC перпендикулярна плоскости (BDH), а значит и прямой DB, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $DB \perp AC$.
• Для ребер DC и AB: так как H – ортоцентр, то $CH \perp AB$. Также $DH \perp AB$. Следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости (CDH), а значит и прямой DC, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $DC \perp AB$.

Мы доказали, что если высота из одной вершины пирамиды падает в ортоцентр противоположной грани, то скрещивающиеся ребра пирамиды попарно перпендикулярны. Такие пирамиды называются ортоцентрическими.

Этап 2: Доказательство утверждения для другой вершины.

Теперь докажем, что проекция любой другой вершины, например A, на плоскость противоположной грани (BCD) также является ортоцентром этой грани. Пусть K – проекция вершины A на плоскость (BCD). Это означает, что $AK \perp (BCD)$. Нам нужно доказать, что K – ортоцентр треугольника BCD.

Для этого достаточно показать, что прямые, проходящие через K и вершины треугольника BCD, перпендикулярны противолежащим сторонам. Например, покажем, что $BK \perp CD$.

Прямая BK является проекцией наклонной AB на плоскость (BCD). Из Этапа 1 мы знаем, что скрещивающиеся ребра $DC$ и $AB$ перпендикулярны, то есть $DC \perp AB$. Применим обратную теорему о трёх перпендикулярах: если прямая, проведённая на плоскости (в нашем случае $CD$ в плоскости $(BCD)$), перпендикулярна наклонной ($AB$), то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на ту же плоскость ($BK$).Следовательно, $BK \perp CD$. Это означает, что прямая BK содержит высоту треугольника BCD, проведенную из вершины B.

Аналогично, рассмотрим прямую CK, которая является проекцией наклонной AC на плоскость (BCD). Мы знаем, что $AC \perp DB$. По той же обратной теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $CK \perp DB$. Это означает, что прямая CK содержит высоту треугольника BCD, проведенную из вершины C.

Поскольку точка K является точкой пересечения двух высот треугольника BCD (из вершин B и C), она является ортоцентром этого треугольника.

Таким образом, мы доказали, что проекция вершины A на плоскость грани BCD является ортоцентром этой грани. Аналогичные рассуждения можно провести для вершин B и C. Следовательно, исходное утверждение верно для любой вершины данной пирамиды.

Ответ: Утверждение доказано.